Logaritmo passante per due punti
Ciao a tutti, vorrei gentilmente aiuto sul seguente problema:
Devo trovare la funzione logaritmica $y =log_a (x+k)$ tale che la funzione passi per i punti $A=( 1, 4)$ e $B=(9/4, 2)$.
Preciso che la funzione logaritmica rappresentata sul libro è decrescente e quando la $x$ tende a $0$ la $y$ tende a $+oo$.
Grazie. Ciao
Devo trovare la funzione logaritmica $y =log_a (x+k)$ tale che la funzione passi per i punti $A=( 1, 4)$ e $B=(9/4, 2)$.
Preciso che la funzione logaritmica rappresentata sul libro è decrescente e quando la $x$ tende a $0$ la $y$ tende a $+oo$.
Grazie. Ciao
Risposte
Ciao,
cosa vuol dire che una funzione passa per un punto? Se rispondi a questa domanda hai risolto metà del problema.
cosa vuol dire che una funzione passa per un punto? Se rispondi a questa domanda hai risolto metà del problema.
"Shocker":
Ciao,
cosa vuol dire che una funzione passa per un punto? Se rispondi a questa domanda hai risolto metà del problema.
Una funzione passa per un punto quando ad un valore assegnato di X abbiamo il corrispondente valore di Y e viceversa . Il problema è che in questo caso non trattandosi di una funzione lineare , il passaggio per questi due punti impone due diverse condizioni che andrebbero messe a sistema. Il sistema però non mi viene corretto e non ottengo un unico valore di x+k tale che per x=1 y=4 e contemporaneamente per x=9/4 y=2
Mostra quanto hai fatto ... è più semplice di quel che credi ...
"axpgn":
Mostra quanto hai fatto ... è più semplice di quel che credi ...
Forse sarò stanco io ma l'Op sembra avere ragione, il sistema che ottengo è questo:
$\{(1 + k = a^4),(\frac{9}{4} + k = a^2):}$
L'equazione che viene fuori è $a^4 - a^2 + \frac{5}{4} = 0$ che ha soluzioni complesse. Ho sbagliato i conti io? In cosa mi sto perdendo?
ciao
... che $a^4=(a^2)^2$ e l'incognita diventa $k$ ...
Io ho provato a farla con tentativi con base 1/2 , forse è per questo che non mi viene! Mi veniva un valore di K pari a -35/16 e - 15/16 che rispettivamente con base 1/2 mi davano per x=1 y=4 e per x=9/4 y=2 ma mi sa che ho fatto una prova non troppo azzeccata
Sì, ma viene $1 + k = (\frac{9}{4} + k)^2$, che a sua volta presenta soluzioni complesse. 
Una funzione log non può passare per due punti che "scendono". Forse era $y=-log_a(x+k)$
E che problema c'è? Se così è significa che non esiste $k$ reale che soddisfa quella richiesta ... 
E come facciamo a soddisfare questo:
"Marco1005":
Preciso che la funzione logaritmica rappresentata sul libro è decrescente e quando la $x$ tende a $0$ la $y$ tende a $+oo$.
Non rispondevo a te che ti sei inserito "a tradimento"
Anch'io penso che il testo sia diverso ...
Anch'io penso che il testo sia diverso ...
"Bokonon":
E come facciamo a soddisfare questo:
[quote="Marco1005"]
Preciso che la funzione logaritmica rappresentata sul libro è decrescente e quando la $x$ tende a $0$ la $y$ tende a $+oo$.
[/quote]Il logaritmo è decrescente [strike]anche[/strike] quando $0 < a < 1$, o sbaglio? Pensavo che questa condizione venisse fuori spontaneamente durante la risoluzione del problema.
[strike]Comunque con la tua correzione esistono delle soluzioni reali, brutte, ma almeno esistono.[/strike](ho erroneamente spostato il meno dentro l'argomento del logaritmo
)"axpgn":
E che problema c'è? Se così è significa che non esiste $ k $ reale che soddisfa quella richiesta ...
Certo, ma visto che il testo disegna una funzione ho automaticamente assunto l'esistenza della soluzione.
Vabbè, scusate il poco acume.
Ciao a tutti
"Shocker":
Il logaritmo è decrescente anche quando $0 < a < 1$, o sbaglio?
Acuta osservazione.
Ho provato solo ora a fare due conti ma mi pare troppo complicato per essere un problema da secondaria.
Aspettiamo che l'OP chiarisca bene i termini del problema
Ho letto alcune frasi false sulla funzione logaritmo; meglio chiarire le cose.
Il logaritmo cresce se la base è maggiore di 1 ma decresce in caso contrario. Vediamo un esempio: non c'è dubbio che $log_2x$ sia una funzione crescente. Ma proviamo con base $1/2$: con la formula del cambiamento di base otteniamo
$log_(1/2)x=(log_2x)/(log_2 (1/2))=(log_2 x)/(-1)=-log_2 x$
che decresce.
Quanto all'esercizio in esame, vengono davvero soluzioni complesse, quindi deve esserci un errore nel testo. Il libro non dà una soluzione numerica?
Il logaritmo cresce se la base è maggiore di 1 ma decresce in caso contrario. Vediamo un esempio: non c'è dubbio che $log_2x$ sia una funzione crescente. Ma proviamo con base $1/2$: con la formula del cambiamento di base otteniamo
$log_(1/2)x=(log_2x)/(log_2 (1/2))=(log_2 x)/(-1)=-log_2 x$
che decresce.
Quanto all'esercizio in esame, vengono davvero soluzioni complesse, quindi deve esserci un errore nel testo. Il libro non dà una soluzione numerica?
Io vorrei sottolineare un altro fatto …
L'OP, come capita purtroppo troppo spesso, non ci dice in che modo ha proceduto nella risoluzione; questo fatto, apparentemente poco importante, non ci permette di capire qual è la reale difficoltà incontrata dall'OP.
Banalmente, io ho risposto indicando una strategia risolutiva banale perché son partito dal presupposto che la sua difficoltà fosse "semplicemente" quella di non essere riuscito a trovare la "strada giusta".
Può darsi, invece, che abbia adottato la strategia giusta ma si sia trovato spiazzato dalla mancanza di soluzioni reali.
Perciò, ribadisco a chi cerca aiuto: siate il più precisi possibile nel riportare i testi originali del problema, nel postare quello che avete fatto ed evidenziare le vostre difficoltà. IMHO
Cordialmente, Alex
L'OP, come capita purtroppo troppo spesso, non ci dice in che modo ha proceduto nella risoluzione; questo fatto, apparentemente poco importante, non ci permette di capire qual è la reale difficoltà incontrata dall'OP.
Banalmente, io ho risposto indicando una strategia risolutiva banale perché son partito dal presupposto che la sua difficoltà fosse "semplicemente" quella di non essere riuscito a trovare la "strada giusta".
Può darsi, invece, che abbia adottato la strategia giusta ma si sia trovato spiazzato dalla mancanza di soluzioni reali.
Perciò, ribadisco a chi cerca aiuto: siate il più precisi possibile nel riportare i testi originali del problema, nel postare quello che avete fatto ed evidenziare le vostre difficoltà. IMHO
Cordialmente, Alex
Ciao a tutti, spero di aver caricato correttamente la foto con l'esercizio. Al punto b troverete la rappresentazione grafica della funzione che vi ho descritto. Il testo è della terza superiore , ragioneria.
Vedendo l'esercizio avevo pensato di impostare un sistema con queste due condizioni: 4=LOG base a (1+k) e 2= LOG base a (9/4+k) . Vedendo che il grafico aveva un andamento decrescente ho scelto a caso una base compresa tra 0 e 1 e ho provato a buttare dentro il tutto in un excel per fare varie prove,il problema è che ottengo due valori diversi di k mentre dovrei averne uno solamente. Visto che la funzione viene rappresentata ho pensato che il mio metodo avesse qualche errore, ecco il perché della mia richiesta. Ringrazio tutti per l'aiuto. Ragionare in gruppo è molto utile!
Eh, no, così cambia tutto … la funzione corretta è $y=log_a (x) + k$ … adesso sì che torna …
Proprio come dicevo …
Proprio come dicevo …
Eddai però...ti aveva dato due opzioni.
Per $a=2/3$ e $k=4$ si ottiene $y=ln(x)/ln(3/2)+4$
Per $a=2/3$ e $k=4$ si ottiene $y=ln(x)/ln(3/2)+4$
Però adesso dovevi lasciargliela a lui, eh … … un po' di fatica deve farla …
… un po' di fatica deve farla …
"axpgn":
Però adesso dovevi lasciargliela a lui, eh …
Forse hai ragione ma se ha risolto gli altri, il meccanismo di sostituire i due punti dovrebbe saperlo.
Comunque sia, a questo punto scriviamo anche due righe.
Per quanto non sia strettamente necessario io preferisco trasformare $y=log_a+k$ in $a^(y-k)=x$
Sostituendo il punto $(1,4)$ si ottiene $a^(4-k)=1$ ed è vera se l'esponente è zero, quindi $k=4$
Sostituendo il secondo punto $(9/4,2)$ e $k=4$ si ottiene $a^(-2)=9/4$ quindi $a^2=4/9$ quindi $a=+-2/3$
Ma $a$ non può essere negativo quindi $a=2/3$
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