Logaritmo all'esponente

[ren747]

Ciao a tutti, facendo alcuni esercizi ho notato che:
a^(log b) = b^(log a)
Dando un'occhiata in giro non ho trovato niente che la menzionasse esplicitamente. E' una proprietà che vale sempre? E se si, come si arriva a dimostrarla?

[Zero87]

Benvenuto al forum e buona permanenza.

Hai
$(a^(log(b)))^(1/(log(a)))=(b^(log(a)))^(1/log(a))$
da cui
$a^((log(b))/(log(a)))=b$
per la proprietà del cambio di base hai
$(log(b))/(log(a))=(log_a(b))$...

[ren747]

Oh ho capito, grazie mille

[giammaria2]

Puoi anche vederla in questo altro modo, in cui suppongo che la base del logaritmo sia $10$ ed uso, a diritto ed a rovescio, la formula $a=10^(loga)$.

$a^(logb)=(10^(loga))^(logb)=10^(loga*logb)=10^(logb*loga)=(10^(logb))^(loga)=b^(loga)$