Lo studio dei segni di un prodotto , nelle disequazioni
Salve a tutti , mi servirebbe una spiegazione chiara e dettagliata per quanto riguarda lo studio dei segni nelle disequazioni magari con qualche esempio svolto 
Grazie a tutti in anticipo
Grazie a tutti in anticipo
Risposte
Ciao, il principio è molto semplice.
Se hai un prodotto formato da $n$ fattori, studi ognuno di questi $n$ segni (a meno che qualcuno non sia ovvio come ad esempio $x^2+1$) e vedi come si "combinano" tra di loro ricordando che + per + e - per - fanno più, mentre + per - fa meno.
Esempio: $(x-2)(x+1)>0$
Il primo fattore è positivo per $x>2$ mentre il secondo lo è per $x > -1$. A questo punto puoi fare due rette con segnati i punti $2$ e $-1$ e riportare quello che abbiamo detto sui segni: la prima retta (corrispondente al primo fattore) avrà il segno $+$ dopo il $2$ e il segno $-$ prima, mentra la seconda retta avrà il segno $+$ dopo il $-1$ e il segno $-$ prima.
Adesso sotto a queste due rette scrivi che cosa risulta dal prodotto dei segni e ti ricordi (dal testo della disequazione) che cercavamo le parti positive. Soluzione: $x<-1$ oppure $x>2$.
Ciao.
Se hai un prodotto formato da $n$ fattori, studi ognuno di questi $n$ segni (a meno che qualcuno non sia ovvio come ad esempio $x^2+1$) e vedi come si "combinano" tra di loro ricordando che + per + e - per - fanno più, mentre + per - fa meno.
Esempio: $(x-2)(x+1)>0$
Il primo fattore è positivo per $x>2$ mentre il secondo lo è per $x > -1$. A questo punto puoi fare due rette con segnati i punti $2$ e $-1$ e riportare quello che abbiamo detto sui segni: la prima retta (corrispondente al primo fattore) avrà il segno $+$ dopo il $2$ e il segno $-$ prima, mentra la seconda retta avrà il segno $+$ dopo il $-1$ e il segno $-$ prima.
Adesso sotto a queste due rette scrivi che cosa risulta dal prodotto dei segni e ti ricordi (dal testo della disequazione) che cercavamo le parti positive. Soluzione: $x<-1$ oppure $x>2$.
Ciao.
Avevo preparato questo intervento e lo spedisco anche se in ritardo perché mi sembra più dettagliato; due spiegazioni sono comunque meglio di una sola.
Lo studio dei segni si fa quando hai un prodotto confrontato con lo zero, ad esempio per
$-7x(x^2+2)(x^2-9)>0$
Per evitare calcoli inutili conviene cominciare a semplificare quei fattori di cui sai il segno, qualunque sia $x$. Nel nostro caso sai che $x^2+2$ è sempre maggiore o uguale a 2 e quindi positivo: lo semplifichi senza problemi. Sai inoltre che $-7$ è negativo e lo semplifichi ma cambiando il verso della disequazione; ti resta
$x(x^2-9)<0$
Ora ti chiedi quando i fattori sono maggiori di zero: sempre maggiori, qualunque sia il verso della disequazione, perché pensare ora al verso non sarebbe di aiuto ed anzi complicherebbe i calcoli successivi. Quindi calcoli
$x>0$ che è già risolta e
$x^2-9>0$ che ha come soluzione $x<-3 vv x>3$
E' abitudine unire queste disequazioni con una graffa, come se fosse un sistema; bisogna però ricordare che non è un sistema (in cui vorremmo che fossero entrambe verificate) e che la nostra domanda è che il prodotto sia minore di zero, cioè negativo. Io suggerisco di scrivere a sinistra della graffa un promemoria (che nel nostro caso può essere il segno meno) copiandolo ogni volta che è necessario (se ci fosse stato $>0$ avrei messo il segno più).
Ora riporti le soluzioni in grafico, come faresti per un sistema, e ricordi che la linea tratteggiata indica il segno meno e quella continua il più; fai allora il calcolo dei segni:
- prima di -3 ho una tratteggiata ed una continua: meno per più fa meno,e scrivo il meno al di sotto;
- fra -3 e 0 ho due tratteggiate: meno per meno fa più, che scrivo;
- fra 0 e 3 ho continua e tratteggiata: più per meno fa meno, che scrivo;
- dopo 3 ho due continue: più per più fa più, che scrivo.
Solo a questo punto guardo il verso della disequazione, oppure il promemoria, e noto che volevo il meno; quindi la soluzione è
$x<-3 vv 0
Se non avessi semplificato $x^2+2$ avrei un fattore in più e quindi avrei una terza linea, nel nostro caso sempre continua; avrei allora pensato al segno del prodotto fra tre fattori. Ad esempio, supposto che questa linea fosse disegnata dopo le altre, fra -3 e 0 il ragionamento sarebbe stato: meno per meno fa più; ancora per più fa più. Come vedi, il risultato non sarebbe cambiato.
Lo studio dei segni si fa quando hai un prodotto confrontato con lo zero, ad esempio per
$-7x(x^2+2)(x^2-9)>0$
Per evitare calcoli inutili conviene cominciare a semplificare quei fattori di cui sai il segno, qualunque sia $x$. Nel nostro caso sai che $x^2+2$ è sempre maggiore o uguale a 2 e quindi positivo: lo semplifichi senza problemi. Sai inoltre che $-7$ è negativo e lo semplifichi ma cambiando il verso della disequazione; ti resta
$x(x^2-9)<0$
Ora ti chiedi quando i fattori sono maggiori di zero: sempre maggiori, qualunque sia il verso della disequazione, perché pensare ora al verso non sarebbe di aiuto ed anzi complicherebbe i calcoli successivi. Quindi calcoli
$x>0$ che è già risolta e
$x^2-9>0$ che ha come soluzione $x<-3 vv x>3$
E' abitudine unire queste disequazioni con una graffa, come se fosse un sistema; bisogna però ricordare che non è un sistema (in cui vorremmo che fossero entrambe verificate) e che la nostra domanda è che il prodotto sia minore di zero, cioè negativo. Io suggerisco di scrivere a sinistra della graffa un promemoria (che nel nostro caso può essere il segno meno) copiandolo ogni volta che è necessario (se ci fosse stato $>0$ avrei messo il segno più).
Ora riporti le soluzioni in grafico, come faresti per un sistema, e ricordi che la linea tratteggiata indica il segno meno e quella continua il più; fai allora il calcolo dei segni:
- prima di -3 ho una tratteggiata ed una continua: meno per più fa meno,e scrivo il meno al di sotto;
- fra -3 e 0 ho due tratteggiate: meno per meno fa più, che scrivo;
- fra 0 e 3 ho continua e tratteggiata: più per meno fa meno, che scrivo;
- dopo 3 ho due continue: più per più fa più, che scrivo.
Solo a questo punto guardo il verso della disequazione, oppure il promemoria, e noto che volevo il meno; quindi la soluzione è
$x<-3 vv 0
Se non avessi semplificato $x^2+2$ avrei un fattore in più e quindi avrei una terza linea, nel nostro caso sempre continua; avrei allora pensato al segno del prodotto fra tre fattori. Ad esempio, supposto che questa linea fosse disegnata dopo le altre, fra -3 e 0 il ragionamento sarebbe stato: meno per meno fa più; ancora per più fa più. Come vedi, il risultato non sarebbe cambiato.
Grazie mille ad entrambi per le risposte davvero molto chiare
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