L'insieme dei razionali
La nostra professoressa di matematica ci ha detto che l'insieme dei razionali porta la lettera Q perchè è l'insieme quoziente ma non è stata molto chiara. Potreste spiegarmelo voi?
Risposte
Sono cose che si fanno in Algebra, mi sembra normale che tu non ce le abbia chiare. L'insieme $QQ$ si ottiene a partire da $ZZ$ introducendo una certa relazione di equivalenza (sai cos'è una relazione binaria?) $rho$. Gli elementi di $QQ$ non sono numeri, ma sono classi di coppie di numeri interi...
In generale, a partire da un qualsiasi anello puoi ottenere sempre un campo seguendo lo stesso procedimento con cui costruisci il campo $QQ$ a partire dall'anello degli interi $ZZ$. Questo campo così ottenuto (bisogna fare numerose verifiche) risulta essere il campo dei quozienti dell'anello $A$.
Dovrai aspettare un corso di base di Algebra per trattare queste cose.
In generale, a partire da un qualsiasi anello puoi ottenere sempre un campo seguendo lo stesso procedimento con cui costruisci il campo $QQ$ a partire dall'anello degli interi $ZZ$. Questo campo così ottenuto (bisogna fare numerose verifiche) risulta essere il campo dei quozienti dell'anello $A$.
Dovrai aspettare un corso di base di Algebra per trattare queste cose.
Se nell'insieme $ZZXZZ_0$ introduci la relazione $(a,b)R(c,d) <=> a*d=b*c$, questa è una relazione di equivalenza. La classe di equivalenza della coppia $(a,b)$ contiene tutte le coppie del tipo $(na, nb)$, si può indicare con $[a/b]$ e rappresenta l'insieme dei numeri razionali.
In pratica, soldon soldoni, l'insieme $QQ$ è l'insieme quoziente delle frazioni, rispetto alla relazione di equivalenza tra frazioni. Se i numeri $3/4$ e $12/16$ individuano due diverse frazioni (per la prima devi dividere la torta in 4 parti e prenderne 3, per la seconda devi dividerla in 16 parti e prenderne 12) tuttavia la due frazioni sono equivalenti: $12/16=(3*4)/(4*4)=3/4$, perciò sono lo stesso numero razionale.
In pratica, soldon soldoni, l'insieme $QQ$ è l'insieme quoziente delle frazioni, rispetto alla relazione di equivalenza tra frazioni. Se i numeri $3/4$ e $12/16$ individuano due diverse frazioni (per la prima devi dividere la torta in 4 parti e prenderne 3, per la seconda devi dividerla in 16 parti e prenderne 12) tuttavia la due frazioni sono equivalenti: $12/16=(3*4)/(4*4)=3/4$, perciò sono lo stesso numero razionale.
Riepilogo un momento per vedere se ho qualche dubbio. Una relazione di equivalenza suddivide l'insieme di partenza in sottoinsiemi, partizione, ciascuno di questi sottoinsiemi si chiama classe di equivalenza. L'insieme quoziente è costituito dai rappresentanti dei sottoinsiemi.
Seneca ti ringrazio dell'intervento ma purtroppo di campi, gruppi ed anelli ne so' ancora troppo poco. Amelia potresti soffermarti un attimo nel descrivere quella relazione di equivalenza, poi perchè la relazione non è da Z in Z, ma da in Z in Z_0 ?
Seneca ti ringrazio dell'intervento ma purtroppo di campi, gruppi ed anelli ne so' ancora troppo poco. Amelia potresti soffermarti un attimo nel descrivere quella relazione di equivalenza, poi perchè la relazione non è da Z in Z, ma da in Z in Z_0 ?
La relazione non è da $ZZ$ in $ZZ$, ma da $ZZXZZ_0$ in $ZZXZZ_0$ perché non metti in relazione numeri interi, ma coppie di numeri interi, e siccome il secondo termine della coppia altri non è che il denominatore della frazione, non può essere 0, da cui $ZZ_0$ cioè l'insieme $ZZ - {0}$.
Non c'è molto altro da dire della relazione, se non che ti sarebbe molto più familiare se invece di essere scritta con il consueto linguaggio delle relazioni di coppie ordinate la vedessi scritta come frazioni, pensa alla coppia ordinata $(a,b)$ come alla frazione $a/b$.
La relazione $(a,b)R(c,d) <=> a*d=b*c$, diventa $a/b R c/d <=> a*d=b*c$ che sicuramente ti è familiare.
Non c'è molto altro da dire della relazione, se non che ti sarebbe molto più familiare se invece di essere scritta con il consueto linguaggio delle relazioni di coppie ordinate la vedessi scritta come frazioni, pensa alla coppia ordinata $(a,b)$ come alla frazione $a/b$.
La relazione $(a,b)R(c,d) <=> a*d=b*c$, diventa $a/b R c/d <=> a*d=b*c$ che sicuramente ti è familiare.
Ti ringrazio, adesso è tutto chiaro. 
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