Limiti notevoli e non
Il primo è apparentemente semplice, ho provato un pò a modificarlo, applicando quindi De L'hopital alla base, ma non credo sia esatto:
$lim_(x -> +oo) (2/x)^((1)/(log(x)+1)$ ; base : $ 1+(2-x)/x=-1$
esponente: $1/1/x=x$.
Quindi $(-1)^(+oo)=0$
poi (uno del compito)
$lim_(x -> +oo) (1+e^(-x))^(2^(x)*logx)$
che, non credo nemmeno, perchè elevato a più funzioni, potrebbe essere:
$e^[(log(1+e^(-x))^(2^(x)*logx))=e^(+oo)=+oo$
nel frattempo mi sorge il dubbio che quello di sopra si possa pure risolvere con e -_-"
merçi!
$lim_(x -> +oo) (2/x)^((1)/(log(x)+1)$ ; base : $ 1+(2-x)/x=-1$
esponente: $1/1/x=x$.
Quindi $(-1)^(+oo)=0$
poi (uno del compito)
$lim_(x -> +oo) (1+e^(-x))^(2^(x)*logx)$
che, non credo nemmeno, perchè elevato a più funzioni, potrebbe essere:
$e^[(log(1+e^(-x))^(2^(x)*logx))=e^(+oo)=+oo$
nel frattempo mi sorge il dubbio che quello di sopra si possa pure risolvere con e -_-"
merçi!
Risposte
$lim_(x -> o^(-)) (1-2x)^(log(1+x^(2))/x^(4)$
base: limite di Nepero $e^(-2)$ ; esponente: $-2/x$
base: limite di Nepero $e^(-2)$ ; esponente: $-2/x$
[size=150]$ lim_(x -> 0^(-)) (1-2x)^(log(1+x^(2))/x^(4) $[/size]
[size=150]$ lim_(x -> 0^(-)) e^log((1-2x)^(log(1+x^2)/x^4)) $[/size]
[size=150]$ lim_(x -> 0^(-)) log(1+x^2)/x^4*log(1-2x) $[/size]
$ lim_(x -> 0^(-)) (x^2)/x^4*(-2x) $
$ lim_(x -> 0^(-)) -2/x=+infty$
... e quindi $lim_(x->0^-) e^(+infty)=+infty$
[size=150]$ lim_(x -> 0^(-)) e^log((1-2x)^(log(1+x^2)/x^4)) $[/size]
[size=150]$ lim_(x -> 0^(-)) log(1+x^2)/x^4*log(1-2x) $[/size]
$ lim_(x -> 0^(-)) (x^2)/x^4*(-2x) $
$ lim_(x -> 0^(-)) -2/x=+infty$
... e quindi $lim_(x->0^-) e^(+infty)=+infty$
aspetta...allora non avevo detto correttamente? 
scusa ma la sola base allora non la posso ritenere limite notevole $(1+kf(x))^(1/f(x))=e^(k)$???
scusa ma la sola base allora non la posso ritenere limite notevole $(1+kf(x))^(1/f(x))=e^(k)$???
"Myriam92":
premetto che il motivo della mia domanda si riferiva al fatto che ho trovato su appunti del prof: $1/0^(-)= - oo$ quindi pensavo di dover prendere in considerazione pure "l'eventuale negatività o positività" del numeratore, ma pare non sia così, ok
No, no ... è proprio così ... è quello che ho fatto ... analizza bene questo $ lim_(x -> 0^(-)) -2/x=+infty $ e vedrai che il prof ha ragione ...
Sinceramente non riesco a vedere quel limite notevole ...
scusa ma ti avevo scritto a principio il risultato corretto, tu mi hai detto che non lo era ma poi svolgendo l'es hai detto che il risultato era $+oo$ come dicevo io, e mi sono confusa XD
cmq io lo vedo qui : $ (1+(-k*f(x)))^(1/f(x))=e^(k) $ sto rincitrullendo?
forse xkè non è $1^(oo)$?
cmq io lo vedo qui : $ (1+(-k*f(x)))^(1/f(x))=e^(k) $ sto rincitrullendo?
forse xkè non è $1^(oo)$?
Ma dove la vedi $1/(f(x))$ ?
uno nuovo:
$lim_(x->+oo) (1)/(x(2^(1/x)-1))*(x/(x-1))^(1-x^(2))$
avevo posto $1/x$=t solo al primo fattore e risulta zero.
è un problema se non faccio la sostituzione anche al secondo? che secondo me non ne ha bisogno...c'è il limite di Nepero e risulta e^(-oo) che appunto viene pure zero pero' >.<
$lim_(x->+oo) (1)/(x(2^(1/x)-1))*(x/(x-1))^(1-x^(2))$
avevo posto $1/x$=t solo al primo fattore e risulta zero.
è un problema se non faccio la sostituzione anche al secondo? che secondo me non ne ha bisogno...c'è il limite di Nepero e risulta e^(-oo) che appunto viene pure zero pero' >.<
"axpgn":
Ma dove la vedi $1/(f(x))$ ?
glielo elevo io a quel valore! poi all'esponente moltiplico $*f(x)$
E che cambia? Esplicitala! (che non è una parolaccia) ... finché l'idea di quello che vuoi fare ce l'hai in testa solo tu io mi baso su quello che vedo ... e non vedo il limite notevole ... peraltro questa tipologia (che poi è $1^(infty)$) di solito si affronta come ho fatto ...
"Myriam92":
è un problema se non faccio la sostituzione anche al secondo?
Se fai questa domanda siamo messi male ...
$ lim_(x -> 0^(-)) (1-2x)^(log(1+x^(2))/x^(4) $
faccio la seguente per renderlo notevole:
base $(1-2x)^(1/(-x))=e^(-2)$
esp: $[log(1+x^(2))/x^(4)]*-x $
faccio la seguente per renderlo notevole:
base $(1-2x)^(1/(-x))=e^(-2)$
esp: $[log(1+x^(2))/x^(4)]*-x $
E poi?
......$-1/x=+oo$ quindi $(e^(-2))^(+oo)=e^(-oo)=0$
"axpgn":
[quote="Myriam92"]è un problema se non faccio la sostituzione anche al secondo?
Se fai questa domanda siamo messi male ...
[/quote]penso sia la stessa cosa,, almeno qui, visto che al secondo fattore troviamo solo la x..
primo fatt: $1/((1/t)*t*logt)=1/log0=0$
secondo: aggiungo e sottraggo 1 e -1 alla frazione, elevo alla $1-x^(2)$ e risulta $e$
esponente: $(1-x^(2))/(x-1)=-oo$
infine $0*e^(-oo)$
C'è qualcosa che non mi torna nel tuo limite notevole, mmm ... d'altra parte se fai il grafico (prova) di $(1-2x)^(1/(-x)$ in $x=0$ il valore che assume è $e^2$ ... usando questo valore il limite "finale" è $+infty$ (che è quello giusto) ...
Ah, ho capito ... se "usi" $-1/x$ allora $k=2$ e non l'opposto ...
Comunque non capisco perché cercare la strada più complicata quando si può usare quella "normale" ...
Ah, ho capito ... se "usi" $-1/x$ allora $k=2$ e non l'opposto ...
Comunque non capisco perché cercare la strada più complicata quando si può usare quella "normale" ...
"Myriam92":
[quote="axpgn"][quote="Myriam92"]è un problema se non faccio la sostituzione anche al secondo?
Se fai questa domanda siamo messi male ...
[/quote]penso sia la stessa cosa, ...[/quote]
Lo pensi veramente?
In pratica fai "sparire" un pezzo di funzione sostituendolo con un "qualcosa" che non è una costane ma che varia anch'essa insieme alla variabile "principale" però non sai come varia perché non è esplicitata ...
"axpgn":
Ah, ho capito ... se "usi" $-1/x$ allora $k=2$ e non l'opposto ...
cosa, cosa? come puo' venire 2??? *___*
no, non lo penso che posso fare la sostituzione a metà, scherzavo XD
ma l'ho svolta scorrettamente?
"Myriam92":
cosa, cosa? come puo' venire 2??? *___*
Allora ... $-2x=-2*(+x)=+2*(-x)!=(-2)*(-x)$ ... ok?
Per l'ultimo limite non ho ancora trovato la strada ... si può riscrivere in modo da usare D.H. ma poi la vedo lunga ...
Comunque, buona notte ...
uuuuuuh ce l'abbiamo fattaaaa...adesso ammettilo che ti stai divertendo di più XDD io uscirò pazza pero'!
ora è tardi, domani penso che sarai in grado anche di risolvere l'altro
non ti ringraziero' mai abbastanza, good night
ora è tardi, domani penso che sarai in grado anche di risolvere l'altro
non ti ringraziero' mai abbastanza, good night
L'ultimo ...
Premessa: non puoi sostituire parzialmente una variabile in un'espressione però, in generale, se hai un prodotto di funzioni come in questo caso puoi sostituire i fattori con il risultato del limite notevole o stima asintotica che dir si voglia.
In questo modo puoi "elaborare" i fattori "singolarmente", non so se mi sono spiegato (e comunque sempre con cautela, verificando ...)
Tornando al nostro limite il primo fattore è $lim_(x->+infty) 1/(x(2^(1/x)-1))=lim_(x->+infty) 1/((2^(1/x)-1)/(1/x))=1/ln(2)$
Il secondo fattore è $lim_(x->+infty) (x/(x-1))^(1-x^2)$ ... pongo $t=x-1$ da cui $x=t+1$ ... allora ...
$lim_(x->+infty) (x/(x-1))^[-(x-1)(1+x)]=lim_(t->+infty) ((t+1)/t)^[t(-t-2)]=lim_(t->+infty) [(1+1/t)^t]^(-(t+2))=1/(e^(t+2)$
Rimettendo insieme il tutto ... $lim_(x->+infty) 1/(ln(2)*e^(t+2))=0$
Dovremmo esserci ...
Cordialmente, Alex
Premessa: non puoi sostituire parzialmente una variabile in un'espressione però, in generale, se hai un prodotto di funzioni come in questo caso puoi sostituire i fattori con il risultato del limite notevole o stima asintotica che dir si voglia.
In questo modo puoi "elaborare" i fattori "singolarmente", non so se mi sono spiegato (e comunque sempre con cautela, verificando ...)
Tornando al nostro limite il primo fattore è $lim_(x->+infty) 1/(x(2^(1/x)-1))=lim_(x->+infty) 1/((2^(1/x)-1)/(1/x))=1/ln(2)$
Il secondo fattore è $lim_(x->+infty) (x/(x-1))^(1-x^2)$ ... pongo $t=x-1$ da cui $x=t+1$ ... allora ...
$lim_(x->+infty) (x/(x-1))^[-(x-1)(1+x)]=lim_(t->+infty) ((t+1)/t)^[t(-t-2)]=lim_(t->+infty) [(1+1/t)^t]^(-(t+2))=1/(e^(t+2)$
Rimettendo insieme il tutto ... $lim_(x->+infty) 1/(ln(2)*e^(t+2))=0$
Dovremmo esserci ...
Cordialmente, Alex
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