Limiti notevoli

[evie-votailprof]

$lim_(x->oo)((x-1)/(x+3))^(x+2)=e^(-4)$

devo verificare questo limite ma nn ci riesco..in più non capisco quando vado a porre per esempio nel limite : $lim_(x->0)(1+x)^(1/x)=e$ ; $1/x=t$ perchè viene che , sostituendo , "T" tende all'infinito?? sarà stupido ma vorrei comprendere...

[_nicola de rosa]

"Eve":$lim_x->oo((x-1)/(x+3))^(x+2)=e^(-4)$

devo verificare questo limite ma nn ci riesco..in più non capisco quando vado a porre per esempio nel limite : $lim_x->0(1+x)^(1/x)=e$ $1/x=t$ perchè viene che , sostituendo , "T" tende all'infinito?? sarà stupido ma vorrei comprendere...

Allora $(x-1)/(x+3)=(x+3-4)/(x+3)=(1-4/(x+3))$ per cui
$lim_(x->oo)((x-1)/(x+3))^(x+2)=lim_(x->oo)(1-4/(x+3))^(x+3-1)=lim_(x->oo)(1-4/(x+3))^(x+3)*lim_(x->oo)(1-4/(x+3))^(-1)$
=$e^(-4)*1=e^-4$ sfruttando il limite notevole per cui
$lim_(x->infty)(1+a/x)^x=e^a$

[evie-votailprof]

come dovrei comportarmi se pongo $x+3=-4t$ ??

[_nicola de rosa]

"Eve":come dovrei comportarmi se pongo $x+3=-4t$ ??

ti verrà
$lim_(t->infty)(1+1/t)^(-4t-1)=lim_(t->infty)(1+1/t)^(-4t)*lim_(t->infty)(1+1/t)^(-1)=(lim_(t->infty)(1+1/t)^t)^(-4)*lim_(t->infty)(1+1/t)^(-1)$
=$e^(-4)*1=e^(-4)$

[evie-votailprof]

ecco..ok ho capito..ma con quale calcolo viene t tendente a infinito?

[_nicola de rosa]

"Eve":ecco..ok ho capito..ma con quale calcolo viene t tendente a infinito?

se $x->+infty$ allora $t->-infty$
$x->-infty$ allora $t->+infty$
tuttavia tale limite notevole vale per $x->+-infty$, quindi pure, se al limite, non specifichi il segno, il risultato è lo stesso. però è ovvio che va specificato. io non l'ho specificato perchè tu non lo avevi specificato

[evie-votailprof]

ok ok, non l'ho specificato perchè non è riportato nell'esercizio..comunque grazie per il tuo aiuto!

ciao.

[evie-votailprof]

sto eseguendo un altro limite da verificare che non riesco a risolvere:

$lim_(x->+oo)((2x+3)/(2x-1))^(3x+4)=e^6$

qualcuno sa spiegarmi come procedere con le 2 possibili risoluzioni?(sia con la posizione sia senza posizione)

grazie anticipatamente..!

[jack110]

io farei così:
$lim_(xto+00)(2x-1+4/(2x-1))^(2x-1+x-5)=lim_(xto+oo)(1+4/(2x-1))^(2x-1)*lim_(xto+oo)(1+4/(2x-1))^(x-5)=e^4*lim_(xto+oo)(1+(2*2)/(2*(x-1/2)))^(x-1/2+11/2)=$
$=e^4*lim_(xto+oo)(1+2/(x-1/2))^(x-1/2)*lim_(xto+oo)(1+2/(x-1/2))^(11/2)=e^4*e^2*1=e^6$

che è il risultato...

spero di aver risposto in tempo se no ho fatto solo un utile esercizio di sintassi di mathML...

ciao

[evie-votailprof]

sono riuscita a risolverla ponendo 2x-1=4t grazie lo stesso per il tuo aiuto,è lo stesso prezioso.