Limiti Notevoli

[vfab971]

Non riesco a risolvere questo limite notevole indicato sul libro di tipo $ lim_(x -> 0) (senx)/x =1 $


$ lim_(x -> pi/2) ((2x-pi)cosx) / (x(1-senx) $

[andar9896]

Direi di fare un cambio di variabile e poi sfruttare gli archi associati

[Giux1]

E' un classico è si dimostra facilmente con il teorema dei carabinieri

dunque: considera la seguente immagine


puoi trarne la seguente relazione:

$ sen(x) <= x <= tg(x) $

adesso cerchiamo di far comparire la grandezza $(sen(x))/x$ e di maggiorarla con qualcosa che converge quindi
dividiamo tutto per $sen(x)$

$ (sen(x))/(sen(x)) <= x/(sen(x)) <= (tg(x))/(sen(x)) $

$ 1 <=x/(sen(x) )<= (sen(x))/(cos(x)*sen(x)) $

$ 1 <= x/(sen(x))<= 1/(cos(x)) $


passiamo ai reciproci

$ 1 >= (sen(x))/x >= cos(x) $

adesso si vede chiaramente che quando x tende a zero $cos(x)$ tende ad $1$
quindi $(sen(x))/x$ siccome è compreso tra due quantita finite pari ad $1$ tende anch'esso ad $1$ per il teorema dei carabinieri