Limiti -esercizi

[Lady Vampire]

[math]\lim_{x \to +\infty} {\frac{x+3\sqrt{x}}{7\sqrt{x}+2x}}[/math]

[math]\lim_{x \to 0} {\frac{e^{2x} -1}{x}}[/math]

[math]\lim_{x \to +\infty} \frac{3}{2x}^{\frac{1}{logx+1}[/math]

[math]\lim_{x \to \pi/2} {\frac{2x -\pi}{3 cos x}} [/math]

Qualcuno potrebbe per favore aiutarmi nella risoluzione di queste tipologie di esercizi?:)Grazie

[ciampax]

Il primo è il più banale: quando calcoli il limite all'infinito di un rapporto, basta considerare al numeratore e denominatore solo le potenze più alte della x. Il limite diventa allora

[math]\lim_{x\rightarrow+\infty} \frac{x}{2x}=\frac{1}{2}[/math]

.

Per il secondo devi usare un limite notevole: per fare ciò, quello che c'è a denominatore deve essere uguale a ciò che c'è ad esponente del numero di Nepero. Avrai allora

[math]\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{2x}-1}{x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{2x}-1}{2x}\cdot 2=1\cdot 2=2[/math]

avendo usato il limite notevole

[math]\lim_{t\rightarrow 0}\frac{e^{t}-1}{t}=1[/math]

Per il terzo, che si presenta nella forma indeterminata

[math]0^0[/math]

procedi così: dalla relazione

[math]y=e^{\log y}[/math]

ricavi che

[math]\left(\frac{3}{2x}\right)^{\frac{1}{\log x+1}}=e^{\log\left(\frac{3}{2x}\right)^{\frac{1}{\log x+1}}}=e^{\frac{1}{\log x+1}\cdot\log\left(\frac{3}{2x}\right)}=e^{\frac{\log 3-\log 2-\log x}{\log x+1}}[/math]

avendo usato le proprietà dei logaritmi. Ora osserva che nell'esponente compare una frazione: puoi di nuovo ragionare scegliendo solo i termini più importanti all'infinito (che ovviamente sono i logaritmi della x in quanto gli altri valori sono costanti). Ne segue che il tuo limite diventa

[math]\lim_{x\rightarrow+\infty}e^{\frac{\log 3-\log 2-\log x}{\log x+1}}=\lim_{x\rightarrow+\infty}e^{\frac{-\log x}{\log x}}=e^{-1}=\frac{1}{e}[/math]

Nel quarto limite, opera la sostituzione

[math]x-\pi/2=t[/math]

. Essendo

[math]\cos x=\cos\left(\frac{\pi}{2}+t\right)=-\sin t[/math]

hai il limite

[math]\lim_{t\rightarrow 0}\frac{2t+\pi-\pi}{-3\sin t}=-\frac{2}{3}\cdot\lim_{t\rightarrow 0}\frac{t}{\sin t}=-\frac{2}{3}[/math]

avendo usato il limite notevole

[math]\lim_{y\rightarrow 0}\frac{\sin y}{y}=1[/math]

Se hai domande, chiedi pure.

[Lady Vampire]

[math]\lim_{x \to +\infty} {\frac{x+3\sqrt{x}}{7\sqrt{x}+2x}} [/math]

conto solamente

[math] {\frac{x}{2x}}[/math]

ok grazie mille :D

[ciampax]

Prego. :D