Limiti di successioni e funzioni: dubbi sulla definizione

[Princeps1]

Abbiamo iniziato lo studio dei limiti delle funzioni ed ho alcuni dubbi sulla definizione:

$lim_(x->+oo)f(x)=l

$AAepsilon>0, EE M_(epsilon)>0 | AAx inD, x>M_epsilon : |f(x)-l|
$epsilon$ è l'intorno (circolare).
$x$ è la variabile della funzione.
$D$ è il dominio.
$l$ è il limite.

Ma che cos'è $M_epsilon$?

[Studente Anonimo]

Ciao!

La tua domanda non mi è molto chiara.

$epsilon$ non è un intorno.
$epsilon$ e $M_(epsilon)$ sono, nella definizione, numeri reali.

[Princeps1]

Non riesco a capire cosa sia $M_epsilon$ e cosa lo leghi a $epsilon$

[Studente Anonimo]

Prendi per esempio la funzione $f(x)=1/x$. Supponi di voler dimostrare che il limite

$\lim_(x to +infty) 1/x$

fa zero. Attenendoti alla definizione, fissi $epsilon>0$. Cio' che devi fare adesso è trovare $M_(epsilon) \in RR$ in modo tale che $|1/x|M_(epsilon)$ (per definizione). Ma supponendo $x>0$ (cio' non è restrittivo: eventualmente ingrandirai $M_(epsilon)$) puoi, partendo da $|1/x| = 1/x < epsilon$, scrivere equivalentemente

$1/epsilon < x$

in quanto $epsilon>0$. Cio' significa che ogni volta che $x>1/epsilon$ tu hai che $f(x)=1/x
$f(x)M_(epsilon)$

Mi rendo conto benissimo che queste cose possano sembrare un po' difficili per chi le vede per la prima volta

[codino75]

ho sempre amato la definizione di limite.......

[Camillo]

"Martino":

Mi rendo conto benissimo che queste cose possano sembrare un po' difficili per chi le vede per la prima volta

Sono d'accordissimo..

Anche se qualcuno si potrà scandalizzare , assegna un valore a $ epsilon $ e vedi quanto vale $M_epsilon $ .
Esempio se $ epsilon = 1/100 $ ,$M_epsilon $ varrà $100$ , vorrà quindi dire che per ogni $ x > 100 $ avrai veramente che $1/x < 1/100 $ .
Se poi scegli $ epsilon =1/ 1000 $ otterrai $M_epsilon = 1000$ e quindi per ogni $x > 1000 $ sarà $1/x < 1/1000 $e così via , al diminuire di $ epsilon $ crescerà $M_epsilon $ e il valore della funzione $1/x $ si avvicinerà sempre di più al valore 0 che è il valore del limite e $M_epsilon $ descriverà un intorno di$ + oo $ .

[Princeps1]

No, il mio problema non è applicare la definizione, ma semplicemente capire cosa vuol dire.

Comunque sto capendo, mi pare.

$epsilon$ è un valore assegnato a f(x), $M_(epsilon)$ è il valore di x dal quale il valore di f(x) è inferiore (in questo caso) a $epsilon$.

Quindi

$epsilon=f(x)$
$f(M_(epsilon))
Giusto?

[zorn1]

$epsilon$ non è un intorno ma un numero positivo arbitrario,

$M_(epsilon)$ è una quantità positiva che dipende dalla scelta di $epsilon$, ossia sarà diversa a seconda se $epsilon=1$ oppure $epsilon=2$, per dire.