Limiti....

[kioccolatino90]

ciao a tutti, volevo fare una domanda..... Come si fa a capire che l'artificio che si sta usando per la risoluzione di un limite è quello giusto?

[giammaria2]

L'unica vera regola è che sono giusti quegli artifici che, nel rispetto della matematica, conducono alla soluzione o almeno ad un limite più semplice di quello iniziale; con la pratica e lo studio si possono poi aggiungere regolette del tipo "Se si presenta questa particolare difficoltà, conviene usare quel particolare artificio". Sono spiacente, ma credo che questa sia proprio l'unica risposta possibile ad una domanda così generica.

[kioccolatino90]

no perchè stavo risolvendo questo limite $lim_(x->-oo)xe^((x+1)/(x-1))-ex$ allora ho pensato essendo un limite all'infinito le costanti additive tipo $+1, -1...$ecc non mi servono quindi le tolgo e il limite diventa:

$lim_(x->-oo)xe^(x/x)-ex=$ $lim_(x->-oo)xe-ex= -oo+oo$ che è una forma indeterminata quindi riscrivo il limite come:

$lim_(x->-oo)xe[(ex)/(ex)-1]$ ora essendo $(ex)/(ex)=1$, il limite $lim_(x->-oo)xe-ex$ usando la forma

$lim_(x->-oo)xe[(ex)/(ex)-1]$ si riconduce alla forma indeterminata $0*oo$ che a sua volta si può ricondurre alla forma indeterminata $0/0$:

$lim_(x->-oo)((ex)/(ex)-1)/(1/(ex))=$ $lim_(x->-oo)((ex)/(ex)-1)/x*x/(1/(ex))=$ $lim_(x->-oo)1/x((ex)/(ex)-1)*x(ex)=$ $lim_(x->-oo)((ex)/(ex^2)-1/x)*x(ex)=$

$lim_(x->-oo)ex^2*((ex)/(ex^2))=$ $lim_(x->-oo)ex= -oo$ e non mi trovo deve uscire $2e$, ho seguito tutti i passi consultando il libro e non capisco cosa c'è di sbagliato in questo procedimento...

[giammaria2]

In presenza di forme indeterminate non è lecito trascurare nulla: ogni addendo può essere importante. Invece comincia col mettere in evidenza, ottenendo $lim_(x->oo)ex(e^(2/(x-1))-1)$- Semplifichiamoci ora le cose, indicando con \(\displaystyle t \) l'esponente, cioè con la sostituzione $t=2/(x-1)$, da cui $x=(2+t)/t$. Lascio a te la facile conclusione.