Limiti (73874)

[MaTeMaTiCa FaN]

Salve, sapreste dirmi come devo fare se in un esercizio dei limiti ho x che tende a 2??? come faccio ad applicare i limiti notevoli se questi normalmente hanno x che tende a 0??? in particolare se ho
x che tende a 2 di

[math] sen^2 \pi x[/math]

mica posso moltiplicare e dividere per pigreco x come faccio normalmente quando so che x tende a 0???

Aggiunto 2 ore 40 minuti più tardi:

no il problema è che questa è solo una piccola parte di tutta la traccia che mi dà 0/0 e quindi volevo sapere come fare almeno quella parte! se puoi aiutarmi tutta la traccia è...
sempre x che tende a 2 di:

[math]\frac{sen^2(\pi x) + arccos (x-3)}{sen \pi x} log(3^x+x-10)[/math]

Aggiunto 1 ore 41 minuti più tardi:

:dozingoff nono.. ti prego aiutamiiiiiiiiiii :angel

Aggiunto 3 ore 3 minuti più tardi:

heiiiiiiiiiiiiiiiiiii :(

[BIT5]

se il limite e'

[math] \sin^2 ( \pi x ) [/math]

che e' definita su tutto R, basta che sostituisci :)

[math] \sin^2 2 \pi = 0 [/math]

i limiti notevoli e le regole varie servono per eliminare le forme di indeterminazione.

Ma qui non c'e' nulla di indeterminato, e x=2 appartiene al dominio.

Aggiunto 3 ore 21 minuti più tardi:

avete fatto de L'Hopital?

[ciampax]

Se ho capito bene il limite è questo:

[math]\lim_{x\to 2}\frac{sen^2(\pi x) + arccos (x-3)}{sen (\pi x)} log(3^x+x-10)[/math]

Ora, in questi casi la prima cosa da fare è effettuare un opportuno cambio di variabile in modo che la stessa tenda ad un valore numerico utile. Cosa intendo con questo? Bé, la maggior parte dei limiti notevoli funziona quando la variabile tende a zero: pertanto, la cosa più intelligente è sempre sostituire la

[math]x[/math]

con una

[math]t[/math]

che tenda a zero. In questo caso è facile vedere che

[math]t=x-2[/math]

soddisfa tale richiesta. vediamo come si trasforma il limite: poiché

[math]x=t+2[/math]

[math]\sin(\pi x)=\sin[\pi(t+2)]=\sin(\pi t+2\pi)=\sin(\pi t)[/math]

[math]\arccos(x-3)=\arccos(t+2-3)=\arccos(t-1)[/math]

[math]\log(3^x+x-10)=\log(3^{t+2}+t+2-10)=\log(9\cdot 3^x+x-8 )[/math]

Pertanto abbiamo

[math]\lim_{t\to 0}\frac{\sin^2(\pi t)+\arccos(t-1)}{\sin(\pi t)}\cdot \log(9\cdot 3^x+x-8 )=\\
\lim_{t\to 0}\left[\frac{\sin^2(\pi t)}{\sin(\pi t)}+\frac{\arccos(t-1)}{\sin(\pi t)}\right]\cdot \log(9\cdot 3^x+x-8 )=\\
\lim_{t\to 0}\left[\sin(\pi t)+\frac{\arccos(t-1)}{\sin(\pi t)}\right]\cdot \log(9\cdot 3^x+x-8 )=\\
\lim_{t\to 0}\left[\sin(\pi t)\cdot \log(9\cdot 3^x+x-8 )\right]+\lim_{t\to 0}\left[\frac{\arccos(t-1)}{\sin(\pi t)}\cdot \log(9\cdot 3^x+x-8 )\right][/math]

Il primo limite vale zero, mentre nel secondo l'arcocoseno vale

[math]\pi[/math]

e ciò che reste è una forma indeterminata 0/0:

[math]=\pi\cdot\lim_{t\to 0}\frac{\log(9\cdot 3^t+t-8 )}{\sin(\pi t)}=\\
\pi\cdot\lim_{t\to 0}\frac{\log(9\cdot 3^t+t-8 )}{\pi t}\cdot\frac{\pi t}{\sin(\pi t)}=[/math]

la seconda frazione vale 1 (usando il limite notevole di

[math]sin x/x[/math]

) e quindi

[math]=\lim_{t\to 0}\frac{\log\left(\frac{9\cdot 3^t+t-8-9+9}{t}\cdot t\right)}{t}=
\lim_{t\to 0}\frac{\log\left[\left(9\frac{3^t-1}{t}+\frac{t+1}{t}\right)\cdot t\right]}{t}=[/math]

usando il fatto che

[math]\lim_{t\to 0}\frac{a^t-1}{t}=\log a[/math]

[math]=\lim_{t\to 0}\frac{\log\left[\left(9\log 3+\frac{t+1}{t}\right)\cdot t\right]}{t}=-\lim_{t\to 0}\frac{\log\left[9t\log 3+t+1\right]}{t}=\lim_{t\to 0}\frac{\log[1+(9\log 3+1)t]}{t}=[/math]

usando il fatto che

[math]\lim_{t\to 0}\frac{\log(1+at)}{t}=a[/math]

[math]=9\log 3+1[/math]