Limiti
Buon giorno a tutti, non riesco a risolvere i seguenti limiti utilizzando la gerarchia di infiniti e infinitesimi:
$\lim_{h \to \0^+}x^2*(logx)^10$
$\lim_{h \to \+infty}(sqrt(x))*(1/(logx))$
Il primo mi viene $0^+$ mentre dovrebbe venire $0^-$
Il secondo mi viene $0^+$ quando dovrebbe uscirmi $sqrt(e)$
Sono gli unici due che non riesco a risolvere di questo tipo e non mi sento nemmeno troppo vicino alla soluzione.
$\lim_{h \to \0^+}x^2*(logx)^10$
$\lim_{h \to \+infty}(sqrt(x))*(1/(logx))$
Il primo mi viene $0^+$ mentre dovrebbe venire $0^-$
Il secondo mi viene $0^+$ quando dovrebbe uscirmi $sqrt(e)$
Sono gli unici due che non riesco a risolvere di questo tipo e non mi sento nemmeno troppo vicino alla soluzione.
Risposte
Guarda che il primo porta proprio $0^+$.
Il secondo, invece, dà $+oo$ perchè $sqrt(x)$ cresce "più velocemente" di $log(x)$.
Il secondo, invece, dà $+oo$ perchè $sqrt(x)$ cresce "più velocemente" di $log(x)$.
"matths87":
Guarda che il primo porta proprio $0^+$.
Il secondo, invece, dà $+oo$ perchè $sqrt(x)$ cresce "più velocemente" di $log(x)$.
mi faresti gentilmente capire come ci arrivi. Grazie
Per il primo
$\lim_(x\rightarrow 0^(+)) x^(2)(\log x)^(10)=\lim_(x\rightarrow 0^(+)) \frac((\log x)^(10))(\frac(1)(x^(2)))$
e posto $1/x=t$
$\lim_(t\rightarrow +\infty) \frac((-\log t)^(10))(t^(2))$
Ora nella scala degli infiniti $t^(\alpha)$ cresce sempre più velocemente (per $\alpha>0$) di $(\log t)^(\beta)$ quindi il limite tende ad una quantità $\frac(1)(\infty)$, il segno si evince dal fatto che il logaritmo è elevato ad una potenza pari dando come risultato un numero positivo, quindi il limite tende a $\frac(1)(+\infty)=0^(+)$
$\lim_(x\rightarrow 0^(+)) x^(2)(\log x)^(10)=\lim_(x\rightarrow 0^(+)) \frac((\log x)^(10))(\frac(1)(x^(2)))$
e posto $1/x=t$
$\lim_(t\rightarrow +\infty) \frac((-\log t)^(10))(t^(2))$
Ora nella scala degli infiniti $t^(\alpha)$ cresce sempre più velocemente (per $\alpha>0$) di $(\log t)^(\beta)$ quindi il limite tende ad una quantità $\frac(1)(\infty)$, il segno si evince dal fatto che il logaritmo è elevato ad una potenza pari dando come risultato un numero positivo, quindi il limite tende a $\frac(1)(+\infty)=0^(+)$
è giusto come risolvo questi due limiti?
$\lim_{x \to \3}log(x-2)/(x-3)$
se $x-2=1+t$ deduco che $x-3=t$
quindi
$\lim_{x \to \3}log(1+t)/t = 1$
Mentre il secondo
$\lim_{x \to \0} (e^x - 1)/log (1+x) = lim_{x \to \0} ((e^x - 1)/x) /((log (1+x))/x) = 1 $
è corretto o ci ho messo molta fantasia?
$\lim_{x \to \3}log(x-2)/(x-3)$
se $x-2=1+t$ deduco che $x-3=t$
quindi
$\lim_{x \to \3}log(1+t)/t = 1$
Mentre il secondo
$\lim_{x \to \0} (e^x - 1)/log (1+x) = lim_{x \to \0} ((e^x - 1)/x) /((log (1+x))/x) = 1 $
è corretto o ci ho messo molta fantasia?
"in_me_i_trust":
Per il primo
$\lim_(x\rightarrow 0^(+)) x^(2)(\log x)^(10)=\lim_(x\rightarrow 0^(+)) \frac((\log x)^(10))(\frac(1)(x^(2)))$
e posto $1/x=t$
$\lim_(t\rightarrow +\infty) \frac((-\log t)^(10))(t^(2))$
Ora nella scala degli infiniti $t^(\alpha)$ cresce sempre più velocemente (per $\alpha>0$) di $(\log t)^(\beta)$ quindi il limite tende ad una quantità $\frac(1)(\infty)$, il segno si evince dal fatto che il logaritmo è elevato ad una potenza pari dando come risultato un numero positivo, quindi il limite tende a $\frac(1)(+\infty)=0^(+)$
Ho capito come arrivi qui:
$\lim_(t\rightarrow +\infty) \frac((-\log t)^(10))(t^(2))$
Non capisco perchè $\lim_(t\rightarrow +\infty)$ mentre all'inizio $lim_(x\rightarrow 0^(+))$
"ThomasNO":
è giusto come risolvo questi due limiti?
$\lim_{x \to \3}log(x-2)/(x-3)$
se $x-2=1+t$ deduco che $x-3=t$
quindi
$\lim_{x \to \3}log(1+t)/t = 1$
Mentre il secondo
$\lim_{x \to \0} (e^x - 1)/log (1+x) = lim_{x \to \0} ((e^x - 1)/x) /((log (1+x))/x) = 1 $
è corretto o ci ho messo molta fantasia?
Attenzione : nel primo esercizio hai fatto il cambio di variabile $ t=x-3 $ quindi se $x rarr 3 $ allora $ t rarr 0 $ e il limite diventa $lim_(t rarr 0 ) (log(1+t))/t = 1 $ ; è errato come hai fatto tu scrivere $\lim_{x \to \3}log(1+t)/t = 1$ , $ x $ non appare più nell'espressione, hai cambiato la variabile e devi essere congruente.
Questa è anche la ragione per cui non ti è chiara la soluzione di in_me:i_trust : ha fatto il cambio variabile $ t=1/x $ e quindi se $x rarr 0^(+) $ allora $t rarr +oo $.
Il secondo esercizio è corretto.
"Camillo":
[quote="ThomasNO"]è giusto come risolvo questi due limiti?
$\lim_{x \to \3}log(x-2)/(x-3)$
se $x-2=1+t$ deduco che $x-3=t$
quindi
$\lim_{x \to \3}log(1+t)/t = 1$
Mentre il secondo
$\lim_{x \to \0} (e^x - 1)/log (1+x) = lim_{x \to \0} ((e^x - 1)/x) /((log (1+x))/x) = 1 $
è corretto o ci ho messo molta fantasia?
Attenzione : nel primo esercizio hai fatto il cambio di variabile $ t=x-3 $ quindi se $x rarr 3 $ allora $ t rarr 0 $ e il limite diventa $lim_(t rarr 0 ) (log(1+t))/t = 1 $ ; è errato come hai fatto tu scrivere $\lim_{x \to \3}log(1+t)/t = 1$ , $ x $ non appare più nell'espressione, hai cambiato la variabile e devi essere congruente.
[/quote]
Ecco cosa non mi era chiaro....
Devo calcolare un asintoto obliquo, ma non riesco a calcolare il limite che mi dovrebbe restituire la q.
Per quanto riguarda il limite che mi restituisce la m faccio:
$\lim_{x \to \infty}((x-2)*e^(-1/x))/x$
Pongo $-1/x = t$
Ottengo $lim_{t \to \0}(1-2t)*e^t = 1$
Per quanto riguarda il limite che mi deve restituire la q faccio:
$\lim_{x \to \infty}(x-2)*e^(-1/x) -x$
Ma non riesco proprio a risolverlo...
P.S. il risultato dovrebbe essere $-3$
Per quanto riguarda il limite che mi restituisce la m faccio:
$\lim_{x \to \infty}((x-2)*e^(-1/x))/x$
Pongo $-1/x = t$
Ottengo $lim_{t \to \0}(1-2t)*e^t = 1$
Per quanto riguarda il limite che mi deve restituire la q faccio:
$\lim_{x \to \infty}(x-2)*e^(-1/x) -x$
Ma non riesco proprio a risolverlo...
P.S. il risultato dovrebbe essere $-3$
Se conosci gli sviluppi asintotici si ottiene subito il risultato ; infatti per $ x rarr oo $ si ha che $e^(-1/x) $ è asintotico $ 1-1/x $ da cui sostituiendo nel limite si ottiene $lim_(x rarr oo) (x-2)(1-1/x)-x = -3 $.
"Camillo":
Se conosci gli sviluppi asintotici si ottiene subito il risultato ; infatti per $ x rarr oo $ si ha che $e^(-1/x) $ è asintotico $ 1-1/x $ da cui sostituiendo nel limite si ottiene $lim_(x rarr oo) (x-2)(1-1/x)-x = -3 $.
Per risolvere questi limiti ci sono altri metodi oltre agli sviluppi asintotici? Non li avevo nel programma e non riesco a farli per domani (esame).
Inoltre dovrei risolvere questo limite con i limiti notevoli ma non riesco proprio a trasformarlo:
$\lim_{x \to \0}(e^(x^3)-1)/x$
è da ieri che ci picchio la testa...
$\lim_{x \to \0}(e^(x^3)-1)/x$
è da ieri che ci picchio la testa...
Basta avere il denominatore uguale all'esponente della $e$
$\lim_{x \to \0}(e^(x^3)-1)/(x^3) *x^2$
adesso il primo fattore, per il limite notevole $\lim_{x \to \0}(e^x-1)/x=1$, tende a 1, mentre il secondo tende a 0,
da cui $\lim_{x \to \0}(e^(x^3)-1)/(x^3) *x^2=1*0=0$
$\lim_{x \to \0}(e^(x^3)-1)/(x^3) *x^2$
adesso il primo fattore, per il limite notevole $\lim_{x \to \0}(e^x-1)/x=1$, tende a 1, mentre il secondo tende a 0,
da cui $\lim_{x \to \0}(e^(x^3)-1)/(x^3) *x^2=1*0=0$
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