Limiti (197502)

[milena.lombardo.18]

Ragazzi potreste aiutarmi con gli ultimi due limiti?

[Studente Anonimo]

Considerando il limite numero 475:

[math]\begin{aligned} \small \lim_{x \to 0} \frac{e^{x^2} - 2 + \cos x}{\sin^2 x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^{x^2} - 2 + \cos x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{e^{x^2} - 1}{x^2} - \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} \end{aligned}\\[/math]

,
che trattandosi di due limiti notevoli, si ha:

[math]\dots = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\\[/math]

.

Invece, per quanto riguarda il limite numero 476, bada bene che
il risultato riportato è scorretto: tale limite risulta pari ad

[math]1[/math]

. ;)

[milena.lombardo.18]

perchè nella prima di sen^2(x) riporti solo x^2?

[Studente Anonimo]

In realtà ho omesso un passaggio ( che ritenevo "ovvio" ). Ora te lo mostro.

[math]\begin{aligned} \lim_{x \to 0} \frac{N(x)}{\sin^2 x} = \lim_{x \to 0} \frac{N(x)}{\sin^2 x}\frac{x^2}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{N(x)}{x^2} \cdot \lim_{x \to 0} \left(\frac{x}{\sin x}\right)^2 \end{aligned}\\[/math]

dove il secondo limite è notevole e sappiamo essere pari ad

[math]1[/math]

.
Ora ti pare un po' più chiaro? Per altro chiedi pure. ;)