Limiti

[HowardRoark]

Devo calcolare $lim_(x->+oo) x[ln(x^2+4)-2lnx]$.

$lim_(x->+oo) x[ln(x^2+4)-lnx^2] = lim_(x->+oo) x[ln((x^2+4)/x^2)] = lim_(x->+oo) x*[0]$.

Come posso eliminare l'indeterminazione $0*oo$?

[StellaMartensitica]

"HowardRoark":$ lim_(x->+oo) x[ln(x^2+4)-lnx^2] = lim_(x->+oo) x[ln(x^2+4)/x^2] $

Questo passaggio è sbagliato.

$lim_(x->+infty)[x*ln((x^2+4)/(x^2))]$ è giusto

[StellaMartensitica]

$ lim_(x->+infty)[x*ln((x^2+4)/(x^2))] =lim_(x->+infty)[ln(1+4/x^2)^(x^2*x/x^2)]=ln((e^4)^(1/x))=0$

[HowardRoark]

"SirDanielFortesque":[quote="HowardRoark"]$ lim_(x->+oo) x[ln(x^2+4)-lnx^2] = lim_(x->+oo) x[ln(x^2+4)/x^2] $

Questo passaggio è sbagliato.

$lim_(x->+infty)[x*ln((x^2+4)/(x^2))]$ è giusto[/quote]

Mi ero sbagliato a scrivere, ho corretto subito dopo

[HowardRoark]

"SirDanielFortesque":$ lim_(x->+infty)[x*ln((x^2+4)/(x^2))] =lim_(x->+infty)[ln(1+4/x^2)^(x^2*x/x^2)]=ln((e^4)^(1/x))=0$

Grazie mille!

Però, perché non scrivi direttamente $ln(1+4/x^2)^x$?

[StellaMartensitica]

Era giusto per mettere in evidenza che applico il limite notevole.

$lim_(x->+infty)(1+4/x^2)^x$ non è un limite notevole.

[HowardRoark]

Ora che me lo fai notare: il limite notevole che applichi è $lim_(x->oo) (1+1/x)^x =e$ no?

Se sì, come riesci a passare da $lim_(x->+oo)[ln(1+4/x^2)^(x^2*x/x^2)]$ a $ln((e^4)^(1/x))$?

Sarà la stanchezza, ma io non riesco ad applicarlo per via di quel 4 al numeratore...

[StellaMartensitica]

A me l'avevano fatto studiare generalizzato a suo tempo, ovvero quel limite ha come risultato, dati $k, m$ due parametri:

$lim_(x->infty)(1+k/x)^(mx)=e^(km)$

la giustificazione di questa generalizzazione è abbastanza intuitiva comunque, in pratica si fa così:

$lim_(x->infty)(1+k/x)^(mx)=lim_(x->infty)[(1+1/(x/k))^x]^m=lim_(x->infty)[(1+1/(x/k))^(x/k *k)]^m=lim_(x->+infty)[(1+1/(x/k))^(x/k)]^(km)=e^(km)$

Di fatto sono i passaggi da compiere ogni volta che hai un limite del tipo

$lim_(x->infty)[1+3/x]^x$, che poi detto fra noi è il tipico esercizio introduttivo all'argomento. A questo punto dovresti averne fatti almento una ventina di questi. Con la formula cortocircuiti tutti i passaggi e arrivi al risultato.

Quello che mi preme farti notare è che il limite funziona se al posto della $x$ metto una funzione $f(x)$, che sia un infinito nel punto in cui è valutato il limite.

$lim_(x->0)(1+x)^(1/x)=lim_(x->0)(1+1/(1/x))^(1/x)=e$

$lim_(x->x_0)[1+(x-x_0)]^(1/(x-x_0))=e$

[HowardRoark]

Bellissima, non la sapevo!

[StellaMartensitica]

Ho notato che su testi un pochino più datati come lo Zwirner ci sono esercizi più "dimostrativi" che ti fanno trovare queste generalizzazioni, a partire dai limiti notevoli.