Limiti

[ramarro1]

scusate il disturbo ho 2 limiti che ho fatto cosi volevo sapere se vengono giusti
$lim (logx)/(sen(pi/x))$ per $x$tendente a $1$
ho usato il limite notevole del logaritmo però io questo limite notevole lo ho per $x$ tendente a $0$ ma forse va bene lo stesso, ci provo:
$((x/x)logx)/((sen(pi/x)(pi/x))/(pi/x))$ viene $(x*1)/(1*(pi/x))$= $x*x/(pi)$ quindi $1/pi$
poi cè l altro
$lim(1-senx)*(tagx)^2$ per $x$tendente a $(pi/2)-$ cioè vuol dire a un valore poco più basso a $pi/2$
sostituisco il $(pi/x)-$
e viene
$(1-(1)^-)(infty)^2$ cioè a quesdo punto mi sono detto che è un infinitesimale moltiplicato per un numero molto grande e quindi dovrebbe essere come risultato $infty$

[giammaria2]

Nel primo non capisco cosa hai fatto perché mal editato e quindi quasi illeggibile. L'impressione è che ci siano degli errori, anche se il risultato è giusto.

Nel secondo "un infinitesimale moltiplicato per un numero molto grande" significa $0*oo$ e sai certo che è una forma indetrminata. Suggerisco i seguenti calcoli sulla funzione:

$=(1-sinx)*(sin^2x)/(cos^2x)=((1-sinx)sin^2x)/(1-sin^2x)=((1-sinx)sin^2x)/((1+sinx)(1-sinx))=(sin^2x)/(1+sinx)$
Vedi ora che il limite vale $1/2$


La scritta $lim_(x->1)$ si ottiene con lim_(x->1) . La scritta $lim_(x->(pi/2)^-)$ si ottiene con lim_(x->(pi/2)^-)

[ramarro1]

ok grazie intanto per la tua risposta, nel frattempo se vuoi quando hai tempo puoi leggere l'altro perché ora l'ho editato giusto.

[giammaria2]

Il primo ora è chiaro ma purtroppo sbagliato: se hai $x->1$ non puoi subito applicare un limite fondamentale in cui sia $x->0$. Devi cominciare con un cambiamento di variabile che dia questa tendenza, cioè con $x=u+1$. Scrivi quindi
$=lim_(u->0)(log(u+1))/u*u/(sin(pi/(u+1))$
La prima frazione tende ad $1$; nella seconda c'è ancora la difficoltà che l'argomento del seno tende a $pi$ mentre tu hai bisogno che tenda a $0$. Puoi però ricordare che $sinalpha=sin(pi-alpha)$ e quindi
$sin(pi/(u+1))=sin(pi-pi/(u+1))=sin((pi u)/(u+1))$

e continui il limite con
$=lim_(u->0)((pi u)/(u+1))/(sin(pi u)/(u+1))*u/((pi u)/(u+1))=1/pi$

[ramarro1]

ok, grazie, appuntato anche questo. Da quel che ho capito però per quanto concerne i limiti che includono $senx$ come membro all'interno dello stesso, è fondamentale sapere i vari modi per scomporlo, io per esempio sapevo che c'era $(senx)^2=1-(cosx)^2$ da cui ho $senx=sqrt(1-(cosx)^2$, volevo sapere se oltre quello che hai usato tu $sen(a)=sen(pi-a)$ ve ne erano altri, perché alla fine cè sempre un giochetto che gira intorno alle formule, penso che sia quello il punto critico quando cè $senx$, ogni volta che si ha in ul limite va trasformato attraverso quei giochetti li.
Potresti per favore dirmi quali altre scomposizioni ci sono del $senx$?
grazie
Cordiali saluti

[giammaria2]

C'è un po' tutta la goniometria. Ad esempio:

- utile la bisezione per $intsin^2x dx$

- utile la prostaferesi per $int sin5xcosxdx$

- utile la duplicazione o le parametriche per $int(dx)/(sinx)$

[ramarro1]

scusa pero non ho capito il senso, intendevo dire le scomposizioni per $senx$ non gli integrali, cioè come tu hai scritto per esempio $sen(a)=sen(pi-a)$ mi servirebberoo quei tipi di traformazioni in modo che sia che mi trovi un limite o un'integrale, io so trasformare il $sen$ di qualcosa in qualcosa d'altro, in modo da poter sbloccarmi dalle situazioni a vicolo cieco. Cioè non so come spiegarmi, mi servirebbero le trasformazioni relative al $sen$, per esempio so che della $cotagx$ cè $-(cosx/senx)$ solo che mi servono del $sen$

[giammaria2]

La risposta cambia poco: qualunque sia il calcolo da fare, in presenza di funzioni goniometriche può servire una qualsiasi fra le formule goniometriche. La maggior parte dei testi le raccoglie tutte in una stessa pagina riassuntiva; lo fanno anche molti siti.