Limite strano
$lim_(x->-1+)(x^2/(x+1))+log(x+1)$
Viene una forma del tipo +oo-oo, come risolvere?
"A senso", visto che le due funzioni sono infinite per x->-1+, posso pensare che la funzione razionale e' infinita di ordine superiore, e dunque arrivi a +oo piu' velocemente di quanto il logaritmo arrivi a -oo, e dunque il limite sia +oo. Ma deve esserci una maniera migliore di calcolarlo...
Viene una forma del tipo +oo-oo, come risolvere?
"A senso", visto che le due funzioni sono infinite per x->-1+, posso pensare che la funzione razionale e' infinita di ordine superiore, e dunque arrivi a +oo piu' velocemente di quanto il logaritmo arrivi a -oo, e dunque il limite sia +oo. Ma deve esserci una maniera migliore di calcolarlo...
Risposte
La tua intuizione è giustissima.
Per formalizzarla devi mettere in evidenza "il termine più importante":
$\frac{x^2}{x+1}+\ln(x+1)=\frac{1}{x+1}(x^2+(x+1)\ln(x+1))$
HO PREMUTO INVIO PER SBAGLIO - VEDI MESSAGGIO SUCCESSIVO
Per formalizzarla devi mettere in evidenza "il termine più importante":
$\frac{x^2}{x+1}+\ln(x+1)=\frac{1}{x+1}(x^2+(x+1)\ln(x+1))$
HO PREMUTO INVIO PER SBAGLIO - VEDI MESSAGGIO SUCCESSIVO
La tua intuizione è giustissima.
Per formalizzarla devi mettere in evidenza "il termine più importante":
$\frac{x^2}{x+1}+\ln(x+1)=\frac{1}{x+1}(x^2+(x+1)\ln(x+1))$
Il fatto che il logaritmo "perde" è contenuto nel limite $x\ln(x)\to0$ per $x\to0^+$
(che devi conoscere); quindi:
$\lim_ {x\to-1^+}(x+1)\ln(x+1)=0$ da cui
$\lim_ {x\to-1^+}x^2+(x+1)\ln(x+1)=1$
e infine
$\lim_ {x\to-1^+}\frac{1}{x+1}(x^2+(x+1)\ln(x+1))=+\infty$
Per formalizzarla devi mettere in evidenza "il termine più importante":
$\frac{x^2}{x+1}+\ln(x+1)=\frac{1}{x+1}(x^2+(x+1)\ln(x+1))$
Il fatto che il logaritmo "perde" è contenuto nel limite $x\ln(x)\to0$ per $x\to0^+$
(che devi conoscere); quindi:
$\lim_ {x\to-1^+}(x+1)\ln(x+1)=0$ da cui
$\lim_ {x\to-1^+}x^2+(x+1)\ln(x+1)=1$
e infine
$\lim_ {x\to-1^+}\frac{1}{x+1}(x^2+(x+1)\ln(x+1))=+\infty$
Molte grazie.
Tutto questo puo' essere generalizzato a casi analoghi?
Grazie ancora.
Tutto questo puo' essere generalizzato a casi analoghi?
Grazie ancora.
Certamente: se $f(x)\to+\infty$ e $g(x)\to+\infty$ E SE $g(x)/f(x)\to 0$ ($f$ "va all'infinito più rapidamente di" $g$)
allora $f(x)-g(x)\to+\infty$ (tutto questo per $x\to x_0$, $x_0$ prefissato).
Lo dimostri mettendo in evidenza $f(x)$, come nell'esempio di prima.
allora $f(x)-g(x)\to+\infty$ (tutto questo per $x\to x_0$, $x_0$ prefissato).
Lo dimostri mettendo in evidenza $f(x)$, come nell'esempio di prima.
"ViciousGoblinEnters":
Certamente: se $f(x)\to+\infty$ e $g(x)\to+\infty$ E SE $g(x)/f(x)\to 0$ ($f$ "va all'infinito più rapidamente di" $g$)
allora $f(x)-g(x)\to+\infty$ (tutto questo per $x\to x_0$, $x_0$ prefissato).
Lo dimostri mettendo in evidenza $f(x)$, come nell'esempio di prima.
Grazie ancora.
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