Limite senza usare Hopital

[peppozzolo]

avrei bisogno di un amano con questo $lim_(x->0)((e^x+ e^-x -2)/(3x^2))$ con hopital si risolve in un attimo ma il testo mi chiede espressamente di farlo senza
io sono arrivato a questo puto una volta spezzata la frazione $lim_(x->0)((e^x -1)/(3x^2) )+((e^-x -1)/(3(-x)(-x)))$
usando i limiti notevoli mi resta $1/(3x) -1/(3x)$
e dovrebbe venire zero ma il risultato è $1/3$
dove sbaglio?
Grazie mille per l'attenzione

[@melia]

Quando lavori con gli infiniti non puoi mandare al limite un pezzo alla volta, in questo caso la strada scelta non è adatta. Con un po' di manipolazioni algebriche il testo diventa $( (e^x-1)/x)^2*1/(3e^x)$

[peppozzolo]

grazie mille veramente gentile , un'ultima cosa come mai il mio ragionamento era sbagliato?

[@melia]

Quando calcoli un limite devi mandare al limite tutti i termini insieme, altrimenti incorri in contraddizioni, di cui il tuo risultato è un esempio.

[peppozzolo]

ah ecco grazie mille ancora