Limite problematico

[Anthrax606]

C’è un modo per risolvere questo limite senza usare De L’Hospital?

[math]lim_{x \to \infty} \frac{ln \left(\frac{x^2+x-2}{x-4} \right)}{x}[/math]

[mc2]

Usa lo sviluppo di Taylor. Prima pero` conviene cambiare variabile: y=1/x

[math]\lim_\limits{x\to\infty}\frac{\log\frac{x^2+x-2}{x-4}}{x}=\\
=\lim_\limits{y\to 0}y\log\frac{\frac{1}{y^2}+\frac{1}{y}-2}{\frac{1}{y}-4}=\\
=\lim_\limits{y\to 0}y\log{\frac{1+y-2y^2}{y(1-4y)}}[/math]

e da qui gia` si vede che tende a 0 (il log tende ad infinito ma e` piu` debole del fattore y in fronte)