Limite indeterminato....

[kioccolatino90]

Buon pomeriggio ho questo limite $lim_(x->+oo)(2^((x+cosx)/x^2)-1)^(arctgx/x^2)$ che non riesco a risolvere... il limite è nella forma $0^0$

per risolverlo conviene trasformare il limite nella forma esponenziale di base $e$ seguendo $lim[f(x)]^(g(x))= lim e^(g(x)*logf(x))= e^(lim g(x)*logf(x))$

$lim_(x->+oo)e^((arctgx/x^2)* log(2^((x+cosx)/x^2)-1))=$ $e^(lim_(x->+oo)(arctgx/x^2)* log(2^((x+cosx)/x^2)-1))=$ $lim_(x->+oo)(arctgx/x^2)* log(2^((x+cosx)/x^2)-1)$ risolvo questo limite molitiplicando $x$...

$lim_(x->+oo)x*(arctgx/x^2)* log(2^((x+cosx)/x^2)-1)=$ $lim_(x->+oo)(arctgx/x) log(2^((x+cosx)/x^2)-1)$ ora devo soltanto ricondurmi ai limiti notevoli soltanto che non riesco a togliere $x->oo$...come si può fare?

[Raptorista1]

"domy90":risolvo questo limite molitiplicando $x$...

Non mi è chiaro il significato di questa frase...

[kioccolatino90]

Volevo dire risolvo questo limite incominciando moltiplicando per $x$ così accade che $x((arctgx)/x^2)=(arctgx)/x=1$ per il suo limite notevole....è giusto?????

[Raptorista1]

Sì ma la $x$ che moltiplichi devi anche dividerla da qualche parte! Mica puoi moltiplicare così, a vanvera

[Seneca1]

Ma, cosa altrettanto importante, quel limite notevole che dici tu non vale per $x -> +oo$.

[kioccolatino90]

giusto, devo anche dividere quindi:

$lim_(x->+oo)(x*(arctgx/x^2))/x* log(2^((x+cosx)/x^2)-1)/x =$ $lim_(x->+oo)(arctgx/x)/x* log(2^((x+cosx)/x^2)-1)/x$ però ora ho il problema che ha detto Seneca..

[kioccolatino90]

forse ho capito quando il limite di $arctgx/x$ va a infinito il rapporto tende a zero quindi posso scrivere che il limite tende a zero...?

[Raptorista1]

Non puoi trarre una conclusione del genere perché se tu sostituissi otterresti delle forme di indecisione, che prima devi risolvere!

[kioccolatino90]

Già me ne sono accorto.....Come posso arrivarci a un limite notevole?

[Raptorista1]

Ad esempio un limite notevole con gli esponenziali?

[kioccolatino90]

adesso mi sono perso....come si fa?

[Raptorista1]

Qui non mi lasci altra scelta che rimandarti al libro di teoria!
Esiste un limite che coinvolge le frazioni del tipo [tex]\frac {a^x - 1} x[/tex].

Now it's up to you!

[kioccolatino90]

ma quel limite notevole non vale solo se il limite tende a zero? nel mio caso il limite va a $+oo$....

[Raptorista1]

Certo, in questo caso [tex]x \to +\infty[/tex], ma l'esponente della tua [tex]a[/tex] non è [tex]x[/tex]!!

[kioccolatino90]

si è: $((x+cosx)/x^2)$ e se non sbaglio per $x->+oo$ quel rapporto tende a $-1$

[Raptorista1]

Mmm... Non sono molto d'accordo!!

[kioccolatino90]

Forse ho capito dove ho sbagliato io fatto in questo modo: $((x+1-x^2/2)/(x^2))=((-x^2+2x+2)/2)/(x^2)=(-x^2)/(x^2)=-1$ invece deve essere $((-x^2+2x+2)/2)/(x^2)= (-x^2+2x+2)/2*1/(x^2)= (-x^2)/(2x^2)=-1/2$....???

[Raptorista1]

Nemmeno per idea!
Lo sviluppo che utilizzi vale solo in un intorno dell'origine!!

Passiamo al problema inferiore allora: [tex]\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{x + \cos x}{x^2}[/tex]. Si risolve al volo con una maggiorazione banale, se proprio non sei capace a vista.

[kioccolatino90]

allora a vista direi che il coseno lo posso trascurare e quindi mi rimane $1/x$ che per $x->+oo$ è uguale a zero....

[Raptorista1]

Ok, fin qui tutto bene. Ora torna al problema principale!

[kioccolatino90]

ok, allora eravamo arrivati a questo punto: $lim_(x->+oo)(arctgx/x)/x* log(2^((x+cosx)/x^2)-1)/x$; per quello che abbiamo detto ($(a^x-1)/x$) si traforma in $lim_(x->+oo)(arctgx/x)/x* log(2)$....giusto?