Limite indeterminato....
Buon pomeriggio ho questo limite $lim_(x->+oo)(2^((x+cosx)/x^2)-1)^(arctgx/x^2)$ che non riesco a risolvere... il limite è nella forma $0^0$
per risolverlo conviene trasformare il limite nella forma esponenziale di base $e$ seguendo $lim[f(x)]^(g(x))= lim e^(g(x)*logf(x))= e^(lim g(x)*logf(x))$
$lim_(x->+oo)e^((arctgx/x^2)* log(2^((x+cosx)/x^2)-1))=$ $e^(lim_(x->+oo)(arctgx/x^2)* log(2^((x+cosx)/x^2)-1))=$ $lim_(x->+oo)(arctgx/x^2)* log(2^((x+cosx)/x^2)-1)$ risolvo questo limite molitiplicando $x$...
$lim_(x->+oo)x*(arctgx/x^2)* log(2^((x+cosx)/x^2)-1)=$ $lim_(x->+oo)(arctgx/x) log(2^((x+cosx)/x^2)-1)$ ora devo soltanto ricondurmi ai limiti notevoli soltanto che non riesco a togliere $x->oo$...come si può fare?
per risolverlo conviene trasformare il limite nella forma esponenziale di base $e$ seguendo $lim[f(x)]^(g(x))= lim e^(g(x)*logf(x))= e^(lim g(x)*logf(x))$
$lim_(x->+oo)e^((arctgx/x^2)* log(2^((x+cosx)/x^2)-1))=$ $e^(lim_(x->+oo)(arctgx/x^2)* log(2^((x+cosx)/x^2)-1))=$ $lim_(x->+oo)(arctgx/x^2)* log(2^((x+cosx)/x^2)-1)$ risolvo questo limite molitiplicando $x$...
$lim_(x->+oo)x*(arctgx/x^2)* log(2^((x+cosx)/x^2)-1)=$ $lim_(x->+oo)(arctgx/x) log(2^((x+cosx)/x^2)-1)$ ora devo soltanto ricondurmi ai limiti notevoli soltanto che non riesco a togliere $x->oo$...come si può fare?
Risposte
No! Tu corri troppo!
In questo limite non c'è una forma [tex]\frac{a^y - 1}{y}[/tex], ma solo un [tex]a^y - 1[/tex]. Ricorda che [tex]y = \frac{x + \cos x}{x^2}[/tex].
In questo limite non c'è una forma [tex]\frac{a^y - 1}{y}[/tex], ma solo un [tex]a^y - 1[/tex]. Ricorda che [tex]y = \frac{x + \cos x}{x^2}[/tex].
giusto devo moltiplicare e dividere per $((x+cosx)/x^2)$ dunque ottengo:
$lim_(x->+oo)(arctgx/x)/x* log(2^(((x+cosx)/x^2)-1)/((x+cosx)/x^2))/x*log((x+cosx)/x^2)=$$lim_(x->+oo)(arctgx/x)/x* log(2)/x*log((x+cosx)/x^2)$???
$lim_(x->+oo)(arctgx/x)/x* log(2^(((x+cosx)/x^2)-1)/((x+cosx)/x^2))/x*log((x+cosx)/x^2)=$$lim_(x->+oo)(arctgx/x)/x* log(2)/x*log((x+cosx)/x^2)$???
Se separi [tex]\log(a \cdot b)[/tex] in [tex]\log a \odot \log b[/tex], fallo usando l'operazione "[tex]\odot[/tex]" giusta!
Comunque, non sono sicuro che ti convenga farlo.
Comunque, non sono sicuro che ti convenga farlo.
Devo lascialo in questo modo: $lim_(x->+oo)(arctgx/x)/x* log(2^(((x+cosx)/x^2)-1)/((x+cosx)/x^2)*(x+cosx)/x^2)/x$???
Per ora sì, e puoi anche evitare di separare le x dell'arctangente, tanto non fanno la differenza. Ora applica il limite notevole e prosegui nei calcoli!
ok, allora abbiamo: $lim_(x->+oo)(arctgx/x^2)* log[((2^((x+cosx)/x^2)-1)*((x+cosx)/x^2))/((x+cosx)/x^2)]=lim_(x->+oo)(arctgx/x^2)* log[2*((x+cosx)/x^2)]=$ $lim_(x->+oo)(arctgx/x^2)* log[2(x/x^2+cosx/x^2)]=$ $lim_(x->+oo)(arctgx/x^2)* log[2(+cosx/x^2)]$ adesso se aggiungo $-1$ alla frazione del logaritmo e bilacio con $+1$ forse ottengo il limite notevole per il coseno:
$lim_(x->+oo)(arctgx/x^2)* log{[2((cosx-1)/x^2)]+1}=$ $lim_(x->+oo)(arctgx/x^2)* log{2(1/2)+1}= $ $lim_(x->+oo)(arctgx/x^2)* log2$...va bene fino a questo punto????
$lim_(x->+oo)(arctgx/x^2)* log{[2((cosx-1)/x^2)]+1}=$ $lim_(x->+oo)(arctgx/x^2)* log{2(1/2)+1}= $ $lim_(x->+oo)(arctgx/x^2)* log2$...va bene fino a questo punto????
Il "bilanciamento" è sbagliato perché sottrai uno dentro una frazione e togli uno fuori dalla frazione.
Comunque non serve, prova a sostituire adesso per vedere a che punto sei arrivato. Sei quasi alla fine
Comunque non serve, prova a sostituire adesso per vedere a che punto sei arrivato. Sei quasi alla fine
mmm.... sostituire $+oo$ al posto della x, oppure una variabile?
"Sostituendo" $+infty$ [virgoletto la prima parola perché $+\infty$ NON è un numero] ti rendi conto del tipo di forma indeterminata a cui sei in quel momento, e dunque in che direzione ti devi muovere adesso.
si ho una forma del tipo $oo/oo*oo/oo$ e quindi $oo/oo$
anzi no la forma se non sbaglio è $oo*oo$....
Nessuna delle due.
allora ragiono ad occhio come abbiamo fatto per $(x+cosx)/x^2$, allora l'arcotangente va ad infinito molto più lentamente di $x^2$ dunque tende quel rapporto va a zero... per il logaritmo lo stesso discorso dunque abbiamo una forma del tipo: $0*log0=0*oo$...
Ok, con l'unica precisazione che dovresti ristudiare l'arcotangente perché non va assolutamente a $+oo$, ma ha due asintoti.. Vai avanti.
si l'ho visto come è fatto tipo arccotgx...
ok ma adesso, visto che è una forma $0*oo$ allora il limite è del tipo: $lim_(x->x_0)[f(x)* log g(x)]$ e mi suggerisce di mettere in evidenza la $g(x)=g(x)+g_1(x)...g_n(x)$...
ma la mia funzione è $log(2*(x+cosx)/x^2)$ e l'unico modo che mi viene in mente per metterla inevidenza è con Taylor....ho provato a svolgere tutto il limite con Taylor e mi è uscito $0*(-oo)=-oo$....
ma la mia funzione è $log(2*(x+cosx)/x^2)$ e l'unico modo che mi viene in mente per metterla inevidenza è con Taylor....ho provato a svolgere tutto il limite con Taylor e mi è uscito $0*(-oo)=-oo$....
Taylor è quasi sempre una buona soluzione, SE la $x$ tende al valore opportuno....
In alternativa, adesso io concluderei con un discorso sull'ordine di infinito delle tue $g$ ed $f$.
In alternativa, adesso io concluderei con un discorso sull'ordine di infinito delle tue $g$ ed $f$.
da quello che ho capito, la $x$ non tende ad un valore opportuno... per quanto riguarda gli ordini di infinito di $f$ e $g$ direi che visto che l'arcotangente va a $+oo$ più lentamente dell'logaritmo allora tutto dipende dal logatitmo che è di ordine di infino superiore...
"domy90":
visto che l'arcotangente va a $+oo$ più lentamente dell'logaritmo
Direi che non hai fatto quello che ti avevo detto...
Comunque, hai già tutte le informazioni per risolvere il problema, che ormai è diventato un parto.
si ho visto che ha due asintoti orizzontali a $+-pi/2$....però non lo tocca mai e dal grafico la funzione continua all'infinito...
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