Limite indeterminato....
Buon pomeriggio ho questo limite $lim_(x->+oo)(2^((x+cosx)/x^2)-1)^(arctgx/x^2)$ che non riesco a risolvere... il limite è nella forma $0^0$
per risolverlo conviene trasformare il limite nella forma esponenziale di base $e$ seguendo $lim[f(x)]^(g(x))= lim e^(g(x)*logf(x))= e^(lim g(x)*logf(x))$
$lim_(x->+oo)e^((arctgx/x^2)* log(2^((x+cosx)/x^2)-1))=$ $e^(lim_(x->+oo)(arctgx/x^2)* log(2^((x+cosx)/x^2)-1))=$ $lim_(x->+oo)(arctgx/x^2)* log(2^((x+cosx)/x^2)-1)$ risolvo questo limite molitiplicando $x$...
$lim_(x->+oo)x*(arctgx/x^2)* log(2^((x+cosx)/x^2)-1)=$ $lim_(x->+oo)(arctgx/x) log(2^((x+cosx)/x^2)-1)$ ora devo soltanto ricondurmi ai limiti notevoli soltanto che non riesco a togliere $x->oo$...come si può fare?
per risolverlo conviene trasformare il limite nella forma esponenziale di base $e$ seguendo $lim[f(x)]^(g(x))= lim e^(g(x)*logf(x))= e^(lim g(x)*logf(x))$
$lim_(x->+oo)e^((arctgx/x^2)* log(2^((x+cosx)/x^2)-1))=$ $e^(lim_(x->+oo)(arctgx/x^2)* log(2^((x+cosx)/x^2)-1))=$ $lim_(x->+oo)(arctgx/x^2)* log(2^((x+cosx)/x^2)-1)$ risolvo questo limite molitiplicando $x$...
$lim_(x->+oo)x*(arctgx/x^2)* log(2^((x+cosx)/x^2)-1)=$ $lim_(x->+oo)(arctgx/x) log(2^((x+cosx)/x^2)-1)$ ora devo soltanto ricondurmi ai limiti notevoli soltanto che non riesco a togliere $x->oo$...come si può fare?
Risposte
forse ho capito... il logaritmo e l'arcotangente hanno lo stesso ordine di infinito, per cui quel limite fa zero, perciò avevamo tralasciato $e$ dunque $e^0=1$
1. Aprire il libro
2. Cercare all'indice "infiniti ed infinitesimi"
3. Iniziare a studiare
4. = 5. = ... = 99. Continuare a studiare
100. Tornare qui
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ok alche se il libro ne parla poco...come faccio a sapere quando sono pronto?
Ho fatto quello che mi hai consigliato, ma non riesco a giungere a nulla di concreto:
abbiamo quattro casi $lim_(x->c)f(x)/g(x)= {(L!=0; L in RR rarr text{quando f e g sono infinitesimi dello stesso ordine}),(=0 rarr text{quando f è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a g}),(+-oo rarr text{quando f è un infinitesimo di ordine inferiore rispetto a g}),(text{non esite} rarr text{quando f e g non sono confontabili}):}$ dove per $c$ si intende $x_0; +oo; -oo$
dunque:
la funzione $f(x)=arctgx/x^2$ per $x->oo$ abbiamo che è $0$ poiche $x^2$ è di ordine inferiore rispetto all'arcotangente.....
per la funzione $g(x)=log(2*(x+cosx)/x^2)$ c'è da dire che $(x+cosx)/x^2$ sono dello stesso ordine quindi fa $1$ per cui esce $log2$....
dunque esce $0*log2=0$....giusto? ho fatto bene?
abbiamo quattro casi $lim_(x->c)f(x)/g(x)= {(L!=0; L in RR rarr text{quando f e g sono infinitesimi dello stesso ordine}),(=0 rarr text{quando f è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a g}),(+-oo rarr text{quando f è un infinitesimo di ordine inferiore rispetto a g}),(text{non esite} rarr text{quando f e g non sono confontabili}):}$ dove per $c$ si intende $x_0; +oo; -oo$
dunque:
la funzione $f(x)=arctgx/x^2$ per $x->oo$ abbiamo che è $0$ poiche $x^2$ è di ordine inferiore rispetto all'arcotangente.....
per la funzione $g(x)=log(2*(x+cosx)/x^2)$ c'è da dire che $(x+cosx)/x^2$ sono dello stesso ordine quindi fa $1$ per cui esce $log2$....
dunque esce $0*log2=0$....giusto? ho fatto bene?
dal risultato sembra fatto bene perchè si trova però non saprei se ho commesso qualche sbaglio...
"domy90":
c'è da dire che $(x+cosx)/x^2$ sono dello stesso ordine
Nemmeno per idea.
sono arrivato a questo perchè: dato che $(x+cosx)/x^2$ per $x->+oo$ quel limite si presenta nella forma $oo/oo$ allora il limite è una funzione razionale e si può risolvere cancellando al numarato e al denominatore tutti i termini di grado minore per cui ho trasformato il coseno con taylor e mi è uscito $x^2/x^2=1$....
però ho capito dove ho sbagliato $x$ non tende a $x_0$ ma a $+oo$...
a questo punto allora direi che il limite a $+oo$ del coseno non esiste ma in questo caso è ordini limitato trascurabile quindi viene $x/x^2= 1/x=0$....
però ho capito dove ho sbagliato $x$ non tende a $x_0$ ma a $+oo$...
a questo punto allora direi che il limite a $+oo$ del coseno non esiste ma in questo caso è ordini limitato trascurabile quindi viene $x/x^2= 1/x=0$....
faccio un altro tentativo con gli "$o$ piccoli" e gli "$O$ garnde"... allora parto dal logaritmo:
$lim_(x->+oo) log(2(x+cosx)/x^2)= $ $lim_(x->+oo) log(2x(1+cosx/x)/x^2)= $ $lim_(x->+oo) log(2/x)= log0=+ oo$ però questo è un $O$ grande perchè va ad infinito lentamente...è giusto fino ad ora?
$lim_(x->+oo) log(2(x+cosx)/x^2)= $ $lim_(x->+oo) log(2x(1+cosx/x)/x^2)= $ $lim_(x->+oo) log(2/x)= log0=+ oo$ però questo è un $O$ grande perchè va ad infinito lentamente...è giusto fino ad ora?
Lascia perdere gli O grandi e vedi piuttosto di non sbagliare il segno del logaritmo di zero.. Vai avanti.
giusto è $-oo$....Ora per l'arcotangente l'unica cosa che mi viene in mente è moltiplicare e dividere per $x$ però non serve a nulla....Taylor manco lo posso usare che la $x$ non tende ad un valore opportuno..... provo con una variabile:
$lim_(x->+oo)arctgx/x^2$; $t=arctgx$ adopero con il teorema delle funzioni composte, per cui $x=tan t^2$ e per $x->+oo$, $t->0$:
$lim_(t->0)t/tant^2= lim_(t->0)t/sint^2*cost^2=lim_(t->0)t/sint^2* lim_(t->0)cost^2.... vado bene?
$lim_(x->+oo)arctgx/x^2$; $t=arctgx$ adopero con il teorema delle funzioni composte, per cui $x=tan t^2$ e per $x->+oo$, $t->0$:
$lim_(t->0)t/tant^2= lim_(t->0)t/sint^2*cost^2=lim_(t->0)t/sint^2* lim_(t->0)cost^2.... vado bene?
Ascolta, sono SEI PAGINE che ti dico che l'arcotangente non tende ad infinito. Questa è l'ultima e i casi sono due: o la capisci e te la cavi da solo, o non la capisci e comunque te la cavi da solo. Io ho finito con questo esercizio, hai tutti gli strumenti per cavartela da solo.
avevi ragione avevo tutto davanti agli occhi per risolvere questo limite....mi chiedevo se posso postare un'altro esercizio....? 
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