Limite indefinito

[lusidoto]

Non riesco a risolvere il seguente limite:

$lim_(x->a)(sen(x-a)/cos^2x-cos^2a$

Ho provato con le formule di addizione a numeratore e differenza di quadrati a denominatori, ma non giungo a nulla.

Ho provato a sostituire $t=x-a$ e trasformare il limite in t, ma non riesco neppure così.

Avreste per favore un suggerimento?

Grazie mille

[lusidoto]

Scusate... ho problemi con l'editor
sen(x-a)
lim --------------------
(x->a) cos^2x-cos^a

[burm87]

Il limite è questo? $lim_(x->a)sin(x-a)/(cos^2x-cos^2a)$

[lusidoto]

si esatto...

[Zero87]

"burm87":Il limite è questo? $lim_(x->a)sin(x-a)/(cos^2x-cos^2a)$

Con un passaggio di Hopital si ha
$= lim_(x->a) \frac{cos(x-a)}{-2cos(x)sin(x)}$
e sparisce l'indeterminazione (e comunque c'è da tenere conto di qualche caso particolare per la $a$).

Tuttavia, l'Hopital impigrisce - come dice... mah, non ricordo chi l'ha detto nella sezione di analisi qualche tempo fa (comunque ha ragione!) - e sarebbe meglio trovare un metodo più pensato.

[rino6999]

$lim_{x \to a}sin(x-a)/[(cosx-cosa)(cosx+cosa)]=1/(2cosa)lim_{x \to a}sin(x-a)/(cosx-cosa)$

$t=x-a$
$lim_{t \to 0}sint/(costcosa-sintsina-cosa)=lim_{t \to 0}(sint/t)/(cosa(cost-1)/t-sinasint/t $
il cui risultato è $-1/sin a$
per concludere,il limite di partenza vale
$-1/(2cosasina)=-1/(sin2a)$

[giammaria2]

Oppure, lasciando identico il primo passaggio,

$lim_{x \to a}sin(x-a)/[(cosx-cosa)(cosx+cosa)]=1/(2cosa)lim_{x \to a}sin(x-a)/(cosx-cosa)$

$=1/(2cosa)lim_{x \to a}(2sin frac(x-a)2 cos frac(x-a)2)/(-2sin frac(x+a)2 sin frac(x-a)2)=1/(2cosa)*1/(-sina)=-1/(sin2a)$

Oppure si può notare che
$cos^2x-cos^2a=cos^2x(sin^2a+cos^2a)-cos^2a(sin^2x+cos^2x)=cos^2xsin^2a-sin^2xcos^2a=(cosxsina+sinxcosa)(cosxsina-sinxcosa)=-sin(x+a)sin(x-a)$

Probabilmente ci sono anche altri metodi, ma direi che tre (quattro con De l'Hospital) possono bastare.

[lusidoto]

Grazie mille...
I tre metodi (senza l'Hopital) mi hanno aiutato a trovare nuove strategie per risolvere i limiti.

Grazie della disponibilità!