Limite funzione goniometrica

[sentinel1]

$Lim_(x-a)(sin(x)-sin(a))/(cos(x)-cos(a))$


Mi potete dare un suggerimento su come procedere per la risoluzione?


Grazie.

[Zero87]

"sentinel":non so come si scrive il limite per x che tende ad a

Vado di frettissima (quindi non ho molto tempo per pensare a un suggerimento... ma se mi viene in mente prima che vado e non risponde nessuno, edito e scrivo ), però ti scrivo questo che risponde ad un pezzetto di domanda, cioè se scrivi

"lim_(x -> a) ..."

ottieni (tra simboli di dollaro)
$lim_(x -> a) ...$

[Pianoth]

Se puoi usare la regola di De l'Hopital la applichi e concludi subito. Se non la puoi usare... Ho pensato a un altro modo ma è molto più lungo...

[sentinel1]

Niente De l'Hopital!

[Pianoth]

Ok penso di avere trovato un modo sufficientemente corto, però devi usare le seguenti:
$$\sin(x)-\sin(a) = -2 \sin \left( {a \over 2}-{x \over 2} \right) \cos \left( {a \over 2}+{x \over 2} \right)$$
$$\cos(x)-\cos(a) = 2 \sin \left( {a \over 2}-{x \over 2} \right) \sin \left( {a \over 2}+{x \over 2} \right)$$

Quindi il limite: $lim_(x -> a) (-2 \sin(a/2-x/2) \cos(a/2+x/2))/(2 sin(a/2-x/2) sin(a/2+x/2)) = lim_(x -> a) -cot(a/2 + x/2) = -cot(a)$

[sentinel1]

Che tipo di formule solo quelle al secondo membro delle uguaglianze?

[Pianoth]

$sin(x)-sin(a) = - (sin(a) - sin(x))$ e applichi le formule di prostaferesi.

[sentinel1]

ok. Grazie.

[Zero87]

"sentinel":$Lim_(x->a)(sin(x)-sin(a))/(cos(x)-cos(a))$

Sono stato più di dieci minuti al casello dell'autostrada, quindi mi sono ricordato di questo problema e m'è venuta una soluzione che riporto abbastanza anche se oramai l'avete risolto: voglio solo sapere che ne pensate e se l'autostrada fa bene alla matematica.

Il mio metodo è quello di moltiplicare numeratore e denominatore per $(cos(x)+cos(a))$ ottenendo
$lim_(x->a) \frac{(sin(x)-sin(a))(cos(x)+cos(a))}{cos^2 (x)-cos^2(a)}= lim_(x->a) \frac{(sin(x)-sin(a))(cos(x)+cos(a))}{1-sin^2 (x)-1+sin^2(a)}=$
$= lim_(x->a) \frac{(sin(x)-sin(a))(cos(x)+cos(a))}{sin^2(a)-sin^2(x)}=- lim_(x->a)\frac{cos(x)+cos(a)}{sin(a)+sin(x)}$
Nel quale hai 3 casi
- $a=\pi/2 + k\pi$, al denominatore c'è una quantità finita (che tende a -2 o +2, ma non mi importa) e il numeratore tende a zero, il risultato è zero
- $a=\pi+k\pi$, hai casini al denominatore ma al numeratore hai una quantità finita che vale 2 o -2: il tutto tende a $\infty$ anche se però per il segno bisognerebbe distinguere i sottocasi $a=2k\pi$ e $a=\pi + 2k\pi$
- Il resto dei casi, il tutto tende a $-\frac{2cos(a)}{2sin(a)}= -tan(a)$... a parte che bastava solo questo che poi al variare di $a$ assumeva i valori che ci pare (compresi i casi limite sopra citati...

Buon fine settimana ai forumisti

[giammaria2]

E se invece usaste la prostaferesi? Si arriva al risultato con un unico passaggio intermedio.