Limite diffcile .....
ciao, sto facendo questo limite
$ lim [cosx-sqrt(1-x^2)]/x^4$ il limite tende a $0$
io ho razionallizato numeratore e denominatore ..ma ottengo sempre la forma indeterminata $0/0$!!
non posso usare l'hopital....come potrei svolgere il limite? grazie mille anticipatamente
$ lim [cosx-sqrt(1-x^2)]/x^4$ il limite tende a $0$
io ho razionallizato numeratore e denominatore ..ma ottengo sempre la forma indeterminata $0/0$!!
non posso usare l'hopital....come potrei svolgere il limite? grazie mille anticipatamente
Risposte
Puoi provare a espandere il numeratore in serie di Taylor fino al 4 ordine intorno a x=0.
Lo sviluppo di Taylor è utilissimo per calcolare i limiti, anzi forse è la cosa più utile per i limiti, perchè in pratica riconduce qualsiasi limite, anche di funzioni complicate, al caso di limiti tra polinomi, che è facile! L'unica piccola difficoltà è capire fino a che ordine sviluppare le varie funzioni, più che altro per evitare di dover fare lunghi calcoli per trovare termini dello sviluppo che in realtà si rivelano inutili per calcolare il limite
Perchè fino al quarto ordine?
Io ragiono così: sia questa radice che il coseno ti danno solo temini di taylor con esponente pari (sono infatti funzioni pari). In questo caso sviluppare sia la radice che il coseno fino all'ordine "zero" non basta e nemmeno fino all'ordine 2 perchè in entrambi i casi i termini degli sviluppi si semplificherebbero e ti rimarrebbero solo degli o piccoli al numeratore (oppure O grandi a seconda dell'accuratezza con cui scrivi il resto dello sviluppo). (*)
Questo permette già di dire "a occhio" che il limite esiste finito. Più precisamente sarà uguale a zero se e solo se anche i termini di ordine 4 si semplificano (non mi sembra questo il caso)
(*) Sviluppare in ordini diversi (ad es. fino al 2 per il coseno e fino al 4 per la radice) non ti aiuta perchè per x che tende a zero gli $x^4$ sono trascurabili rispetto agli $x^2$. In generale quindi non aiuta se devi sviluppare 2 funzioni che si sommano tra loro.
Lo sviluppo di Taylor è utilissimo per calcolare i limiti, anzi forse è la cosa più utile per i limiti, perchè in pratica riconduce qualsiasi limite, anche di funzioni complicate, al caso di limiti tra polinomi, che è facile! L'unica piccola difficoltà è capire fino a che ordine sviluppare le varie funzioni, più che altro per evitare di dover fare lunghi calcoli per trovare termini dello sviluppo che in realtà si rivelano inutili per calcolare il limite
Perchè fino al quarto ordine?
Io ragiono così: sia questa radice che il coseno ti danno solo temini di taylor con esponente pari (sono infatti funzioni pari). In questo caso sviluppare sia la radice che il coseno fino all'ordine "zero" non basta e nemmeno fino all'ordine 2 perchè in entrambi i casi i termini degli sviluppi si semplificherebbero e ti rimarrebbero solo degli o piccoli al numeratore (oppure O grandi a seconda dell'accuratezza con cui scrivi il resto dello sviluppo). (*)
Questo permette già di dire "a occhio" che il limite esiste finito. Più precisamente sarà uguale a zero se e solo se anche i termini di ordine 4 si semplificano (non mi sembra questo il caso)
(*) Sviluppare in ordini diversi (ad es. fino al 2 per il coseno e fino al 4 per la radice) non ti aiuta perchè per x che tende a zero gli $x^4$ sono trascurabili rispetto agli $x^2$. In generale quindi non aiuta se devi sviluppare 2 funzioni che si sommano tra loro.
il problema è che non ho ancora studiato nè l'hopital nè taylor..sono al v anno dello scientifico e posso usare solo gli infinitesimi o i limiti notevoli...
Concordo con Ralf86, il metodo più diretto che mi viene in mente è quello di espandere Taylor (poi in questo caso Mc Laurin per fortuna) fino al quarto ordine: l'idea del quarto ordine ti viene data dal denominatore che è molto semplicemente $x^4$ e diciamo che indica la potenza di riferimento!
Ero restio a dirtelo però... perchè non so se abbiate fatto i polinomi di Taylor!
Ero restio a dirtelo però... perchè non so se abbiate fatto i polinomi di Taylor!
no, ancora non ho studiato taylor...
"silstar":
ciao, sto facendo questo limite
$ lim [cosx-sqrt(1-x^2)]/x^4$ il limite tende a $0$
io ho razionallizato numeratore e denominatore ..ma ottengo sempre la forma indeterminata $0/0$!!
non posso usare l'hopital....come potrei svolgere il limite? grazie mille anticipatamente
Altro metodo:
$ lim - [- cosx + sqrt(1-x^2)]/x^4$
$ lim - [1 - cosx + sqrt(1-x^2) - 1]/(x^2 * x^2)$
Ora dovresti vedere bene quali limiti notevoli applicare.
ciao, il primo limite notevole da utilizzare è sicuramente $(1-cosx)/(x^2) = x^2/2 $ ma non so come trasformare la radice....
E' un limite notevole che spesso non si fa, ma secondo me è molto utile.
$lim_(z -> 0) (( 1 + z )^(k) - 1 )/z = k$
Cerca di ricondurti a questo.
$lim_(z -> 0) (( 1 + z )^(k) - 1 )/z = k$
Cerca di ricondurti a questo.
ciao, grazie di avermi risposto..
ho provato a farlo...
allora $ 1/x^2 *[(-1+cosx)/x^2 +(sqrt(1-x^2)-1)/x^2]$
quindi $ 1/x^2*[ -x^2/2+1/2] $
non so se ho fatto giusto...
ho provato a farlo...
allora $ 1/x^2 *[(-1+cosx)/x^2 +(sqrt(1-x^2)-1)/x^2]$
quindi $ 1/x^2*[ -x^2/2+1/2] $
non so se ho fatto giusto...
$ lim - [1 - cosx + sqrt(1-x^2) - 1]/(x^2 * x^2)$
$ [ lim_(x -> 0) - ( 1 - cosx )/x^2 ] * [ lim_(x -> 0) - ( sqrt(1-x^2) - 1)/x^2 ]$
E attenta che:
$lim_(x ->0 ) (1 - cos(x))/x^2 = 1/2$ non $1/x^2$
E per quanto riguarda il secondo limite dovresti cambiare variabile: $- x^2 = z$
$ [ lim_(x -> 0) - ( 1 - cosx )/x^2 ] * [ lim_(x -> 0) - ( sqrt(1-x^2) - 1)/x^2 ]$
E attenta che:
$lim_(x ->0 ) (1 - cos(x))/x^2 = 1/2$ non $1/x^2$
E per quanto riguarda il secondo limite dovresti cambiare variabile: $- x^2 = z$
ciao, ho provato a faare il limite ma mi imbroglio con i segni credo...
dovrebbe dare 1/6 ma a me dà zero oppure infinito, forse non ho capito come fare il cambio di variabile..
dovrebbe dare 1/6 ma a me dà zero oppure infinito, forse non ho capito come fare il cambio di variabile..
Che sciocco e maldestro. Non è:
$ [ lim_(x -> 0) - ( 1 - cosx )/x^2 ] * [ lim_(x -> 0) - ( sqrt(1-x^2) - 1)/x^2 ]$
Ma:
$ [ lim_(x -> 0) - ( 1 - cosx )/x^4 ] + [ lim_(x -> 0) - ( sqrt(1-x^2) - 1)/x^4 ]$
Ad ogni modo, andando avanti con i conti, non è la strada giusta, perché:
$[ lim_( x -> 0 ) 1/x^2 ] * { [ lim_(x -> 0) - ( 1 - cosx )/x^2 ] + [ lim_(x -> 0) - ( sqrt(1-x^2) - 1)/x^2 ] }$
$lim_( x -> 0 ) 1/x^2 = +oo$
ma: $[ lim_(x -> 0) - ( 1 - cosx )/x^2 ] + [ lim_(x -> 0) - ( sqrt(1-x^2) - 1)/x^2 ] = - 1/2 + 1/2 = 0$
E $[0*oo]$ è una forma di indeterminazione.
$ [ lim_(x -> 0) - ( 1 - cosx )/x^2 ] * [ lim_(x -> 0) - ( sqrt(1-x^2) - 1)/x^2 ]$
Ma:
$ [ lim_(x -> 0) - ( 1 - cosx )/x^4 ] + [ lim_(x -> 0) - ( sqrt(1-x^2) - 1)/x^4 ]$
Ad ogni modo, andando avanti con i conti, non è la strada giusta, perché:
$[ lim_( x -> 0 ) 1/x^2 ] * { [ lim_(x -> 0) - ( 1 - cosx )/x^2 ] + [ lim_(x -> 0) - ( sqrt(1-x^2) - 1)/x^2 ] }$
$lim_( x -> 0 ) 1/x^2 = +oo$
ma: $[ lim_(x -> 0) - ( 1 - cosx )/x^2 ] + [ lim_(x -> 0) - ( sqrt(1-x^2) - 1)/x^2 ] = - 1/2 + 1/2 = 0$
E $[0*oo]$ è una forma di indeterminazione.
sto provando a sostituire ma ancora non mi dà....
Confermo il fatto che il risultato è $1/6$, però non riesco ad ottenerlo solo con i limiti notevoli....
grazie per le risposte...sto provando a fare un altro esercizio, scusate se posto nella stessa discussione..
$lim [lg (1+x^2) - sen^2x )/(1-cosx+x^4)^2$ il limite tende a zero..
secondo voi è possibile risolverlo solo con i limiti notevoli?
io ho fatto:
$lim (lg [(1+x^2)/10^(sen^x)])/(1-cosx+x^4)^2$
$lim [lg (1+x^2) - sen^2x )/(1-cosx+x^4)^2$ il limite tende a zero..
secondo voi è possibile risolverlo solo con i limiti notevoli?
io ho fatto:
$lim (lg [(1+x^2)/10^(sen^x)])/(1-cosx+x^4)^2$
Secondo me no.
Puoi dire qualcosina rifacendoti alla teoria degli infiniti e degli infinitesimi; ad esempio puoi dire che il numeratore è $o(x^2)$, mentre il denominatore è dell'ordine di $x^4$.
Ma le informazioni non sono sufficienti a dedurre il risultato.
Puoi dire qualcosina rifacendoti alla teoria degli infiniti e degli infinitesimi; ad esempio puoi dire che il numeratore è $o(x^2)$, mentre il denominatore è dell'ordine di $x^4$.
Ma le informazioni non sono sufficienti a dedurre il risultato.
infatti ho provato in tutti i modi ma non mi dà...
scusate se posto ancora, ma ho un dubbio su un altro limite dato che a breve a avrò un compito in classe..
$ lim [(1/(lg(x+3))]^[(x+2)]$ il limite tende a infinito.
per la gerarchia degli infiniti non dovrebbe dare +infinito il risultato? perchè il libro porta 0?
scusate se posto ancora, ma ho un dubbio su un altro limite dato che a breve a avrò un compito in classe..
$ lim [(1/(lg(x+3))]^[(x+2)]$ il limite tende a infinito.
per la gerarchia degli infiniti non dovrebbe dare +infinito il risultato? perchè il libro porta 0?
$ lim_(x -> +oo) [(1/(lg(x+3))]^[(x+2)]$
$ lim_(x -> +oo) e^[ (x + 2)log(1/(log(x+3))]$
$(x + 2) -> +oo$ mentre $log(1/(log(x+3))) -> -oo$
Quindi...
$ lim_(x -> +oo) e^[ (x + 2)log(1/(log(x+3))]$
$(x + 2) -> +oo$ mentre $log(1/(log(x+3))) -> -oo$
Quindi...
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo