Limite di una funzione

[Martorelli]

Buonasera a tutti. Non riesco a calcolare il limite della seguente funzione:

lim sqrt(1-cos(x))
-----------------
x
x-->0

devo calcolarlo utilizzando il teorema di De L'Hospital. Potete gentilmente aiutarmi? Grazie

Mi hanno detto che posso riscrivere il limite come:

sqrt(2)*sen(x/2)
------------------
x

chi sa dirmi perchè lo posso riscrivere così? Aiuto domani ho il compito

[f.bisecco]

se hai scritto bene direi che de l'hopital non serve e basta calcolare il valore della funzione in quel punto....

[Martorelli]

E' x il compito in classe. Vuole che lo svolgiamo con L'Hospital...

[amandy1]

Se la funzione è $lim_(x->0)sqrt(1-cosx)/x$ allora puoi moltiplicare numeratore e denominatore per $sqrt(1+cosx)$ e estraendo il senx dalla radice applichi l'Hospital al rapporto indeterminato $(senx)/x$.

Tieni comunque presente che è anche un limite notevole...

[Steven11]

"amandy": applichi l'Hospital al rapporto indeterminato $(senx)/x$.

Non vorrei dire sciocchezze, ma ho letto un paio di volte, qui nel forum, che non è corretto usare De L'Hopital per
$(sinx)/x$

[amandy1]

Non è che non è corretto, è solo usare uno strumento "sofisticato" per un problema risolvibile come limite notevole. Peraltro le condizioni per applicarlo ci sono tutti, quindi...

[franced]

"amandy":Se la funzione è $lim_(x->0)sqrt(1-cosx)/x$ allora puoi moltiplicare numeratore e denominatore per $sqrt(1+cosx)$ e estraendo il senx dalla radice applichi l'Hospital al rapporto indeterminato $(senx)/x$.

Tieni comunque presente che è anche un limite notevole...

Attenzione, il limite non esiste, altro che regola di De l'Hopital!

Per $x > 0$ si ha:

$lim_(x->0^+) sqrt(1 - cos x)/x = lim_(x->0^+) sqrt((1-cos x)/x^2) $

ricordando che

$lim_(x->0) (1 - cos x)/x^2 = 1/2$

si ottiene

$lim_(x->0^+) sqrt(1 - cos x)/x = sqrt(1/2) = sqrt(2)/2$.

Se $x < 0$ si ottiene:

$lim_(x->0^-) sqrt(1-cos x)/x = lim_(x->0^-) sqrt((1-cos x)/x^2) \cdot (-1) = - sqrt(2)/2$.

Dal momento che il limite destro è diverso da quello sinistro il limite non esiste.

[amandy1]

Attenzione, il limite non esiste, altro che regola di De l'Hopital!

Per $x > 0$ si ha:

$lim_(x->0^+) sqrt(1 - cos x)/x = lim_(x->0^+) sqrt((1-cos x)/x^2) $

ricordando che

$lim_(x->0) (1 - cos x)/x^2 = 1/2$

si ottiene

$lim_(x->0^+) sqrt(1 - cos x)/x = sqrt(1/2) = sqrt(2)/2$.

Se $x < 0$ si ottiene:

$lim_(x->0^-) sqrt(1-cos x)/x = lim_(x->0^-) sqrt((1-cos x)/x^2) \cdot (-1) = - sqrt(2)/2$.

Dal momento che il limite destro è diverso da quello sinistro il limite non esiste.

Confermo, mi era sfuggito che con l'estrazione dalla radice il senx doveva essere posto in valore assoluto, quindi.... doppio limite!
Comunque per determinare il limite dx e sx De L'Hospital può essere utilizzato se non si vogliono invocare i limiti notevoli, o sbaglio?

[franced]

"amandy":

Confermo, mi era sfuggito che con l'estrazione dalla radice il senx doveva essere posto in valore assoluto, quindi.... doppio limite!

Troppe volte capita di iniziare un problema, dando per scontato che la soluzione esiste.

E' un problema della scuola italiana?

[amandy1]

Allora è un problema nostro!

[franced]

"amandy":Allora è un problema nostro!

Ho proposto un sondaggio, in "Superiori", sulle cause
del basso rendimento scolastico..