Limite di maturità

[Steven11]

Ciao a tutti
leggendo il questionario di una passata maturità, riportato su questo sito, mi sono imbattuto in questo limite, risolto da Nicola de Rosa.
Posto la risoluzione

$lim_(xto oo)3^x/(x!)$
Applicando il criterio del rapporto alla successione di termine generale $a_x=3^x/(x!)$ si ha
$lim_(xto oo)(a_(x+1)/a_x)=lim_(xto oo)(3^(x+1)/((x+1)!))/(3^x/(x!))$
Dopo qualche semplice conto, si arriva al risultato 0.
Il link è il seguente, questito 4 https://www.matematicamente.it/matura/2002_pni_que.pdf

Ciò che mi chiedo è questo: che proprietà si è applicata?
In particolare, cosa si indica con "criterio del rapporto alla sucessione di termine generale"?
Vi sarei grato se mi faceste magari un esempio facile.
Grazie mille, buonanotte.

[TomSawyer1]

Si vuole semplicemente verificare se $a_{x+1}$ sia minore (o maggiore) di $a_x$. Se il limite di un rapporto è 0, allora è chiaro che $a_{x+1}$ è minore di $a_x$, perché per x che va all'infinito, il numeratore sarà minore del denominatore. E viceversa, se il limite è infinito.

[Steven11]

Ok, grazie.
Questo metodo pu essere usato nel caso in cui $lim_(xto oo)(a_(x+1)/a_x)$
tende a un valore numerico diverso da zero e infinito?

[giuseppe87x]

Nicola de Rosa ha dimostrato con il criterio del rapporto che la serie di termine generale $3^n/(n!)$ converge, dunque il suo termine generale deve essere infinitesimo. Si poteva anche procedere con il criterio della radice. Infatti, per $a>0$ si ha $lim_(ntoinfty)(a^n/(n!))^(1/n)=0$ dunque la sucessione $a^n/(n!)$ converge a zero $AAa>0$: