Limite di funzioni logaritmiche

[stellina171]

Salve,
Ho questi due limiti che a un certo punto mi blocco e non so più come procedere... non so che pasticcio combino
$\lim_(x->4) (x-4)/(log_6 x- log_6 4)$ faccio un cambio di variabile $x=4t$ e procedo cosi
$4(t-1)/log_6 t= 4ln6* (t-1)/lnt$ per $t->0$ $(t-1)/lnt=-1$ giusto ...per me il risultato è -4ln6 ma per il ilbro è 4ln6

il secondo limite invece è : $\lim_(x->m) (log_a(x/m))/(x-m)$
in questo invece il cambio di variabile che faccio è $x=mt$
e mi viene $1/m(log_a y/(y-1))$ e poi non so
qualche suggerimento
grazie

[Berationalgetreal]

\[\lim_{x \to m} {\left [\frac{x -m}{\log_a \frac{x}{m}} \right]^{\gamma}} =m^\gamma \ln^\gamma a \lim_{x \to m} {\left [\frac{\frac{x -m}{m}}{\ln \left (1 + \left ( \frac{x-m}{m} \right ) \right)}\right]^\gamma} = m^\gamma \ln^\gamma a\]

Per \(\gamma = -1 \), ottieni il secondo limite. Per \(\gamma = 1, \ m = 4, \ a = 6 \), ottieni il primo.

[francicko]

Innanzi tutto bisogna dire che si tratta di una forma indeterminata $0/0$, che puo' essere eliminata con l'applicazione delle proprietà dei logaritmi e l'uso di un limite notevole.
Dopodiche avremo $lim _(x->4)(x-4)/(log_6(x)-log_(6)(4)) $ $=lim_(x->4)(x-4)/(log(x/4)/(log6)) $ $=(log6)(x-4)/log(x/4)$, posso riscrivere senza alterare $4(log6)(x/4-1)/log (x/4-1+1)$ pongo $(x/4-1)=t $ e riscrivo il limite in forma equivalente $lim_(t->0)4(log6)t/(log(t+1)) $ ed essendo $lim_(t->0)t/log(t+1)=1$, noto limite notevole, sostituendo avremo $lim_(t->0)4log6×1=4log6$.
Analogamente nel secondo limite basta porre $(x/m-1)=t $ e si otterrà come risultato $1/(m×loga)$
Quando poni un cambio di variabile, questo non puo' essere arbitrario, ma deve mantenere sostanzialmente la forma del limite originale, nel caso da te citato poni $x=4t $, che non e' corretta come sostituzione in quanto non mantiene la forma del limite originale per $t->0$.