Limite con funzioni trigonometriche

[gcappellotto]

Salve a tutti

sono alle prese con il seguente limite:

$\lim_{x \to 3/2 \pi} [(1+\ sin(x)) \cdot \tan^2(x)]$

Ho riscritto nella forma: $\lim_{x \to 3/2 \pi} (1+\ sin(x))/(1/(\tan^2 x)) $ che è una forma indeterminata $0/0$

quindi ho applicato l'Hopital ottenendo come risultato $1/2$

Volevo chiedere se questo limite può essere calcolato anche senza applicare l'Hotital.
Grazie e saluti
Giovanni C.

[piero_1]

poniamo \(\displaystyle x- \frac {3}{2} \pi =t\)
il limite diventa:

\(\displaystyle \lim_{t \to 0}(1-\cos t)\cdot \frac{\cos ^2t}{\sin ^2t} =\)
\(\displaystyle =\lim_{t \to 0}(1-\cos t)\cdot \frac{\cos ^2t}{1-\cos ^2t} =\)
\(\displaystyle =\lim_{t \to 0}(1-\cos t)\cdot \frac{\cos ^2t}{(1-\cos t) \cdot (1+\cos t)} =\)
\(\displaystyle =\lim_{t \to 0} 1\cdot \frac{\cos ^2t}{(1+\cos t)} = \frac {1}{2}\)

[chiaraotta1]

"gcappellotto":
...
$\lim_{x \to 3/2 \pi} [(1+\ sin(x)) \cdot \tan^2(x)]$
...

Oppure
$lim_(x-> 3/2 pi) [(1+ sin(x)) *tan^2(x)]=lim_(x-> 3/2 pi) [(1+ sin(x)) *(sin^2(x))/(cos^2(x))]=lim_(x-> 3/2 pi) [(1+ sin(x)) *(sin^2(x))/(1-sin^2(x))]=$
$lim_(x-> 3/2 pi) [(1+ sin(x)) *(sin^2(x))/((1-sin(x))(1+sin(x))]=lim_(x-> 3/2 pi) [(sin^2(x))/(1-sin(x))]=(-1)^2/(1-(-1))=1/2$.

[piero_1]

beh, in effetti potevo fare a meno della sostituzione...