Limite con forma di indecisione

[stefano8292ec]

Ciao ragazzi. Ho problemi con questo limite: arrivo a capire che è una forma indeterminata 0/0 e immagino sia riconducibile a qualche limite notevole ma non riesco a fare quei magici spostamenti/cambiamenti per arrivare alla forma di qualche limite notevole. Con quale criterio si decide se moltiplicare/ dividere/ cambiare segno etc. etc? Che disastro!!!

$ lim_(x -> 0) log (1+xe^x)/(e^-(3x)-1) $

[Seneca1]

Con il criterio dell'esperienza...

$lim_(x -> 0) log( 1 + x e^x)/(x e^x) * (x e^x)/( e^(-3x) - 1 ) =$

$lim_(x -> 0) log( 1 + x e^x)/(x e^x) * (- 3 x )/( e^(-3x) - 1 ) * e^x * (-1/3) = 1 * 1 * 1 * -1/3$

[stefano8292ec]

Grazie molte per la risposta! Ho ammirato i vari spostamenti (non ci sarei mai arrivato) ma non capisco perchè le prime due frazioni vanno a 1... Cioè (Log(1+xe^x))/(xe^x) non dovrebbe andare a log(2)/1; la seconda frazione non dovrebbe invece andare a 0?
Grazie molte in anticipo per un eventuale chiarimento

[Seneca1]

$x e^x -> 0$ per $x -> 0$ (sei in presenza di una forma indeterminata del tipo $[0/0]$). Quindi, con un cambio opportuno di variabile, ponendo $y = x * e^x$ il primo pezzo del limite diventa: $lim_(y -> 0) (log( 1 + y ))/y$ che è un limite notevole.

Il secondo pezzo lo puoi scrivere così $1/(( e^(-3x) - 1)/(-3x))$ e porre $- 3x = t$. Salterà fuori un altro limite notevole.

[stefano8292ec]

Gentilissimo: se mi presti un paio di neuroni, ti prometto che dopo l'esame te le restituisco

[Seneca1]

Ti farai l'occhio, vedrai...