Limite con esponenziali

[gcappellotto]

Buongiorno
ho il seguente limite che dovrei calcolare senza applicare l'hopital

$\lim_{x to 0} \frac{e^x+e^{-x}-2}{3x^2}$

il limite è della forma $[0/0]$

ho calcolato con Hopital ed ho ottenuto $1/3$

ma il prof vuole che usi un metodo diverso, io pensavo applicando i limiti notevoli, ma come?

Gradirei qualche indicazione in proposito.
Grazie e saluti
Giovanni C.

[andar9896]

Ciao, quel $-2$ ci è molto utile, poiché abbiamo due esponenziali, per applicare il famoso limite notevole
$lim_(x rarr 0) (e^x-1)/x =1$
Per prima cosa dunque scriviamo quel $-2$ come $-1-1$ e separiamo le due frazioni... il resto viene quasi da sé

[Berationalgetreal]

Io ti consiglio di procedere così:
Moltiplica numeratore e denominatore per $e^x$, così da ottenere:

\[ \lim_{x \to 0 } {\frac{e^{2x} - 2 e^x + 1}{3e^x x^2}} = \frac{1}{3} \cdot \lim_{x \to 0} {\frac {1}{e^x}} \cdot \lim_{x \to 0}{\left ( \frac{e^x - 1}{x} \right )^2 } = \frac{1}{3} \]

[andar9896]

"Berationalgetreal":Io ti consiglio di procedere così:
Moltiplica numeratore e denominatore per $e^x$, così da ottenere:

\[ \lim_{x \to 0 } {\frac{e^{2x} - 2 e^x + 1}{3e^x x^2}} = \frac{1}{3} \cdot \lim_{x \to 0} {\frac {1}{e^x}} \cdot \lim_{x \to 0}{\left ( \frac{e^x - 1}{x} \right )^2 } = \frac{1}{3} \]

Bello