Limite con coseno
Salve a tutti...
Avrei un problema a risolvere questo esercizio:
$lim_(x→0) (cos2x−cosx)/(cosx−1) $
cerco di risolverlo in questa maniera:
$(cos2x−cosx)/(cosx−1)=(2cosxsenx−cosx)/(cosx−1)$
raccolgo $cosx$ (credo sia questo l'errore) $(cosx⋅(senx−1))/(cosx⋅(1−(1/cosx))$
E semplifico ma
Il $lim_(x→0) ((senx−1))/(1−(1/cosx))$ $=+ \infty $
Quando il risultato è $3$
Cosa sbaglio??
Grazie anticipatamente!!
Avrei un problema a risolvere questo esercizio:
$lim_(x→0) (cos2x−cosx)/(cosx−1) $
cerco di risolverlo in questa maniera:
$(cos2x−cosx)/(cosx−1)=(2cosxsenx−cosx)/(cosx−1)$
raccolgo $cosx$ (credo sia questo l'errore) $(cosx⋅(senx−1))/(cosx⋅(1−(1/cosx))$
E semplifico ma
Il $lim_(x→0) ((senx−1))/(1−(1/cosx))$ $=+ \infty $
Quando il risultato è $3$
Cosa sbaglio??
Grazie anticipatamente!!
Risposte
Per duplicare un coseno hai usato la formula di duplicazione del seno.
ho usato la formula di duplicazione corretta...
Non riesco comunque a risolvere D:
Odio le funzioni trigonometriche
Non riesco comunque a risolvere D:
Odio le funzioni trigonometriche
"xSilver":
ho usato la formula di duplicazione corretta
Non credo che @melia si diverta a fare dispetti nonostante l'avatar (stupendo, tra l'altro
). 
Ti evidenzio il passaggio incriminato nel tuo primo post
"xSilver":
$ (cos2x−cosx)/(cosx−1)=(2cosxsenx−cosx)/(cosx−1) $
raccolgo $ cosx $ [...]
Ricordo
$sin(2x)=2sin(x)cos(x)$
$cos(2x)= cos^2(x)-sin^2(x)=2cos^2(x)-1=1-2 sin^2(x)$
$lim_(x→0) (cos2x−cosx)/(cosx−1) =$ sostituendo la forma corretta di duplicazione del coseno $cos 2x=2cos^2x -1$ dà
$=lim_(x→0) (2cos^2 x-1−cosx)/(cosx−1) =$ scomponendo il trinomio a numeratore diventa
$=lim_(x→0) ((2cosx+1)(cosx-1))/(cosx−1) =$ semplificando si trasforma in
$=lim_(x→0) (2cosx+1)=3$
Come ti ho detto in precedenza avevi usato le formule di duplicazione del seno per duplicare un coseno.
$=lim_(x→0) (2cos^2 x-1−cosx)/(cosx−1) =$ scomponendo il trinomio a numeratore diventa
$=lim_(x→0) ((2cosx+1)(cosx-1))/(cosx−1) =$ semplificando si trasforma in
$=lim_(x→0) (2cosx+1)=3$
Come ti ho detto in precedenza avevi usato le formule di duplicazione del seno per duplicare un coseno.
Sì, scusate ragazzi avete frainteso...
intendevo dire di aver utilizzato la formula di duplicazione corretta [size=150]dopo[/size] che mi avete fatto notare l'errore...
Non riuscivo però a scomporre il trinomio... Grazie..
intendevo dire di aver utilizzato la formula di duplicazione corretta [size=150]dopo[/size] che mi avete fatto notare l'errore...
Non riuscivo però a scomporre il trinomio... Grazie..
@xSilver
suppongo che per scomporre quel trinomio $2\cos^2(x)-1-\cos x$
l'utente @media abbia fatto $\cos x=t$ così diventa $2t^2-1-t=0\to 2t^2-t-1=0$
ed poi la risolvi nell'incognita t e poi vai a sostituire..almeno penso che abbia fatto così..
anche se a me viene diverso a me viene (con la sostituzione che ho fatto)
$\Delta=1+8=9\to t=(1\pm 3)/(4)=\to t_1=1\vee t_2=-1/2$ e così poi mi viene $(t-1)(t+1/2)= (\cos x -1)(cos x +1/2)$
scusate ma con questo caldo può essere che sparo cavolate.. XD
suppongo che per scomporre quel trinomio $2\cos^2(x)-1-\cos x$
l'utente @media abbia fatto $\cos x=t$ così diventa $2t^2-1-t=0\to 2t^2-t-1=0$
ed poi la risolvi nell'incognita t e poi vai a sostituire..almeno penso che abbia fatto così..
anche se a me viene diverso a me viene (con la sostituzione che ho fatto)
$\Delta=1+8=9\to t=(1\pm 3)/(4)=\to t_1=1\vee t_2=-1/2$ e così poi mi viene $(t-1)(t+1/2)= (\cos x -1)(cos x +1/2)$
scusate ma con questo caldo può essere che sparo cavolate.. XD
Grazie per la tua risposta...
A questo punto aspettiamo delucidazioni da @melia
A questo punto aspettiamo delucidazioni da @melia
Quello che dice 21zuclo è corretto ma manca un $2$.
La regola di scomposizione dice che, dato un trinomio $$ax^2 + bx + c$$ che si annulla per $x_1, x_2$ questo si può scomporre come $$a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)$$ quindi manca il coefficiente $a$, ovvero il $2$ davanti al termine di secondo grado. In definitiva la scomposizione viene $$2\left(\cos x-1\right)\left(\cos x + \frac{1}{2}\right) = \left(\cos x-1\right) + \left(2\cos x + 1\right)$$
La regola di scomposizione dice che, dato un trinomio $$ax^2 + bx + c$$ che si annulla per $x_1, x_2$ questo si può scomporre come $$a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)$$ quindi manca il coefficiente $a$, ovvero il $2$ davanti al termine di secondo grado. In definitiva la scomposizione viene $$2\left(\cos x-1\right)\left(\cos x + \frac{1}{2}\right) = \left(\cos x-1\right) + \left(2\cos x + 1\right)$$
ah no..trovato!.. purtroppo le scomposizioni non le faccio dalle superiori XD..
la formula generale è questa $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$
praticamente qui hai $2(\cos(x)+1/2)(\cos x -1)=(2\cos x +1)(\cos x-1)$
sto caldo infernale mi gioca brutti scherzi!](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
la formula generale è questa $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$
praticamente qui hai $2(\cos(x)+1/2)(\cos x -1)=(2\cos x +1)(\cos x-1)$
sto caldo infernale mi gioca brutti scherzi!
mi ero dimenticato un 2..perdonatemi XD ..
"21zuclo":
mi ero dimenticato un 2..perdonatemi XD ..
Tranquillo... Capita!
Siete la mia salvezza!!! Grazie
Per la scomposizione si poteva anche fare così:
$2t^2-t-1=2t^2-2t+t-1=2t(t-1)+(t-1)=(t-1)(2t+1)$
$2t^2-t-1=2t^2-2t+t-1=2t(t-1)+(t-1)=(t-1)(2t+1)$
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