Limite

[Charlie Epps]

Ho trovato questo limite in rete, ma non riesco a impostare un percorso risolutivo:

lim per x che tende a +inf di rad.quadrata di (1+x+x^2) -radice quadrata di 3+x^2

Grazie per l'aiuto

[_nicola de rosa]

"ganpyixt":Ho trovato questo limite in rete, ma non riesco a impostare un percorso risolutivo:

lim per x che tende a +inf di rad.quadrata di (1+x+x^2) -radice quadrata di 3+x^2

Grazie per l'aiuto

$lim_(x->+infty)sqrt(x^2+x+1)-sqrt(3+x^2)$
Moltiplica e dividi per $sqrt(x^2+x+1)+sqrt(3+x^2)$ ottenendo:
$lim_(x->+infty)((x^2+x+1-(3+x^2)))/(sqrt(x^2+x+1)+sqrt(3+x^2))=lim_(x->+infty)(x-2)/(sqrt(x^2+x+1)+sqrt(3+x^2))$=
$lim_(x->+infty)(x-2)/(|x|(sqrt(1/x^2+1/x+1)+sqrt(1+3/x^2))$ (ho messo $sqrt(x^2)=|x|$ in evidenza in ambo le radici)
Ora $|x|=x$ per $x->+infty$ per cui
$lim_(x->+infty)(x-2)/(x(sqrt(1/x^2+1/x+1)+sqrt(1+3/x^2)))=lim_(x->+infty)(x-2)/(2x)=1/2$

Se invece il limite era per $x->-infty$, allora $|x|=-x$ per cui con gli stessi calcoli trovavi che
$lim_(x->-infty)sqrt(x^2+x+1)-sqrt(3+x^2)$=$lim_(x->-infty)(x-2)/((-x)(sqrt(1/x^2+1/x+1)+sqrt(1+3/x^2)))$=
$lim_(x->-infty)(x-2)/(-2x)=-1/2$

[Charlie Epps]

Una domanda, ma nell'ultimo passaggio come si ottiene 1/2, per il resto tutto chiaro.

[_nicola de rosa]

"ganpyixt":Una domanda, ma nell'ultimo passaggio come si ottiene 1/2, per il resto tutto chiaro.

Confronto tra infiniti, o in maniera più esplicita

$lim_(x->+infty)(x-2)/(2x)=lim_(x->+infty)(x(1-2/x))/(2x)=1/2lim_(x->+infty)(1-2/x)=1/2$ perchè $2/x->0$ se $x->+infty$
Analogamente nell'altro limite

[Charlie Epps]

Ok grazie, avevo effetuato la razionalizzazione, ma poi mi ero fermato davanti al modulo.