Limite (217502)

[rosva1]

Limite...buongiorno...sto impazzendo con questo limite...qualcuno potrebbe aiutarmi?Anticipatamente ringrazio

[mc2]

Puoi usare l'Hopital, ma se vuoi semplificare un po' i calcoli conviene effettuare un cambio di variabile:

[math]x=1+\frac{4}{\pi}y[/math]

e poi si calcola il limite per

[math]y\to 0[/math]

A denominatore:

[math]1-\tan\left(\frac{\pi }{4}x\right)=1-
\tan\left(\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{4}\frac{4}{\pi}y\right)=
1-\tan\left(\frac{\pi }{4}+y\right)=
[/math]

[math]=1-\frac{1+\tan{y}}{1-\tan{y}}=\frac{-2\tan y}{1-\tan{y}}[/math]

Il limite da calcolare diventa:

[math]\lim_\limits{x\to 1}\frac{\sqrt{x+3}-\sqrt[3]{3x+5}}
{\left(1-\tan\frac{\pi x}{4}\right)^2}=
\lim_\limits{y\to 0}\frac{\sqrt{4+\frac{4}{\pi}y}-\sqrt[3]{8+\frac{12}{\pi}y}}
{\left(\frac{-2\tan{y}}{1-\tan y}\right)^2}=
[/math]

[math]\lim_\limits{y\to 0}
\frac{2\sqrt{1+\frac{1}{\pi}y}\,-\,2\sqrt[3]{1+\frac{3}{2\pi}y}}
{4\tan^2 y}\,(1-\tan y)^2=
[/math]

Ora puoi usare l'Hopital oppure puoi sviluppare in serie di McLaurin:

[math]=
\lim_\limits{y\to 0}\frac{2\left[\left(1+\frac{1}{2}\frac{y}{\pi}-\frac{1}{8}\frac{y^2}{\pi^2}+O(y^3)\right)-\left(1+\frac{1}{3}\frac{3y}{2\pi}-\frac{1}{9}\frac{9y^2}{4\pi^2}+O(y^3)\right)\right](1-y+O(y^3))^2}{4\left(y+O(y^3)\right)^2}
=
[/math]

[math]=\frac{1}{2}\lim_\limits{y\to 0}
\frac{-\frac{1}{8}\frac{y^2}{\pi^2}+\frac{1}{4}\frac{y^2}{\pi^2}+O(y^3)}
{y^2+O(y^4)}=\frac{1}{2}\lim_\limits{y\to 0}
\frac{\frac{1}{8}\frac{y^2}{\pi^2}+O(y^3)}
{y^2+O(y^4)}=\frac{1}{2}\frac{1}{8\pi^2}=\frac{1}{16\pi^2}[/math]