Limite
qual è il risultato di questo limite?
$lim_{x \to 0}( 2x sin(1/x) - cos(1/x))$
il primo addendo va a zero, il secondo oscilla, cosa posso dire del limite della funzione?
$lim_{x \to 0}( 2x sin(1/x) - cos(1/x))$
il primo addendo va a zero, il secondo oscilla, cosa posso dire del limite della funzione?
Risposte
Il primo addendo va ad annullarsi, rimane solo il secondo, quindi ...
"axpgn":
Il primo addendo va ad annullarsi, rimane solo il secondo, quindi ...
Non puoi proprio fare così perché il limite è lineare solo quando il limite esiste...
"lasy":
il primo addendo va a zero, il secondo oscilla, cosa posso dire del limite della funzione?
Beh chiama \( f(x) = 2x \sin(1/x) - \cos(1/x) \), e assumi che esiste il limite, i.e.
\[ \lim_{x \to 0 } f(x) = \ell \]
ora hai che \( \lim_{x \to 0} 2x \sin(1/x) = 0 \) pertanto
\[ \lim_{x \to 0 } 2x \sin(1/x) - f(x) = \lim_{x \to 0 } \cos(1/x) \]
ma allo stesso tempo
\[ \lim_{x \to 0} 2x \sin(1/x) - f(x) = - \ell \]
quindi
\[ \lim_{x \to 0} \cos(1/x) = - \ell \]
che è assurdo!
Questo argomento lo puoi ripetere per qualunque funzione del tipo \( f(x) = g(x) + h(x) \) limitata in un intorno di \(x_0\) dove il limite per \( x \to x_0 \) di \( g(x) \) esiste e il limite di \(h(x) \) di \( x \to x_0 \) non esiste, e puoi concludere che il limite di \(f(x) \) non esiste allo stesso modo.
Perché hai bisogno che sia limitata? Perché altrimenti potrebbe essere infinito il limite.
"3m0o":
[quote="axpgn"]Il primo addendo va ad annullarsi, rimane solo il secondo, quindi ...
Non puoi proprio fare così perché il limite è lineare solo quando il limite esiste...
"lasy":
il primo addendo va a zero, il secondo oscilla, cosa posso dire del limite della funzione?
Beh chiama \( f(x) = 2x \sin(1/x) - \cos(1/x) \), e assumi che esiste il limite, i.e.
\[ \lim_{x \to 0 } f(x) = \ell \]
ora hai che \( \lim_{x \to 0} 2x \sin(1/x) = 0 \) pertanto
\[ \lim_{x \to 0 } 2x \sin(1/x) - f(x) = \lim_{x \to 0 } \cos(1/x) \]
ma allo stesso tempo
\[ \lim_{x \to 0} 2x \sin(1/x) - f(x) = - \ell \]
quindi
\[ \lim_{x \to 0} \cos(1/x) = - \ell \]
che è assurdo!
Questo argomento lo puoi ripetere per qualunque funzione del tipo \( f(x) = g(x) + h(x) \) limitata in un intorno di \(x_0\) dove il limite per \( x \to x_0 \) di \( g(x) \) esiste e il limite di \(h(x) \) di \( x \to x_0 \) non esiste, e puoi concludere che il limite di \(f(x) \) non esiste allo stesso modo.
Perché hai bisogno che sia limitata? Perché altrimenti potrebbe essere infinito il limite.[/quote]
utilizzando questo risultato, posso dire che $f(x)= x^2 sin(1/x)$ non è derivabile in $x = 0$?
lo chiedo perchè se poi faccio con la definizione, la $f(x)$ è derivabile in $x=0$, infatti:
$lim_{h \to 0 } {f(0+h) - f(0)}/{h} = lim_{h \to 0 } h sin(1/h)= 0$
"lasy":
utilizzando questo risultato, posso dire che $f(x)= x^2 sin(1/x)$ non è derivabile in $x = 0$?
E come vorresti fare ??
"3m0o":
Non puoi proprio fare così perché il limite è lineare solo quando il limite esiste...
...
Questo argomento lo puoi ripetere per qualunque funzione del tipo \( f(x) = g(x) + h(x) \) limitata in un intorno di \(x_0\) dove il limite per \( x \to x_0 \) di \( g(x) \) esiste e il limite di \(h(x) \) di \( x \to x_0 \) non esiste, e puoi concludere che il limite di \(f(x) \) non esiste allo stesso modo.
E io che ho detto?
Cordialmente, Alex
"axpgn":
E io che ho detto?
Cordialmente, Alex
Tu hai detto una cosa differente, tu hai detto \( f(x) = g(x) + h(x) \) il limite di \(g(x) \) esiste ed è zero e il limite di \(h(x) \) non esiste quindi \[ \lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} g(x) + h(x) \stackrel{(1)}{=} \lim_{x \to 0 } g(x) + \lim_{x \to 0} h(x) = \lim_{x \to 0} h(x) \]
quest'ultimo non esiste quindi il limite di \( f(x) \) non esiste. Ma l'uguaglianza (1) è sbagliata. Io invece ho detto supponendo che il limite di \(f(x) \) esiste allora siccome il limite di \(g(x) \) esiste allora anche il limite di \(f(x)-g(x) \) esiste ma questo è uguale a
\[ \lim_{x \to 0} f(x) - g(x) = \lim_{x \to 0} h(x) \]
che non esiste assurdo, quindi il limite di \(f(x) \) non esiste.
Sono due cose molto differenti!
"3m0o":
[quote="lasy"]
utilizzando questo risultato, posso dire che $f(x)= x^2 sin(1/x)$ non è derivabile in $x = 0$?
E come vorresti fare ??[/quote]
$lim_{x \to 0} f'(x)$ non esiste $rArr$ $f'(x)$ non è continua in $x=0$ $rArr$ $f(x)$ non è derivabile in $x=0$, in quale delle due implicazioni sbaglio?
@3m0o
Ma tutto sto ragionamento sono tue supposizioni non mie affermazioni, io mi sono fermato al tuo primo "quindi" ...
Cordialmente, Alex
Ma tutto sto ragionamento sono tue supposizioni non mie affermazioni, io mi sono fermato al tuo primo "quindi" ...
Cordialmente, Alex
"lasy":
$ lim_{x \to 0} f'(x) $ non esiste $ rArr $ $ f'(x) $ non è continua in $ x=0 $ $ rArr $ $ f(x) $ non è derivabile in $ x=0 $, in quale delle due implicazioni sbaglio?
La seconda! E comunque non hai risposto alla mia domanda, come vorresti usare quel metodo per dimostrare che il limite di \( \frac{f(h)-f(0)}{h} \) non esiste quando \(h \to 0 \) ?
"axpgn":
@3m0o
Ma tutto sto ragionamento sono tue supposizioni non mie affermazioni, io mi sono fermato al tuo primo "quindi" ...
Cordialmente, Alex
Allora scusa di averti messo parole in bocca che non hai detto
Ho capito cosa volevi dire. Una funzione è derivabile in \(x \) se esiste il limite
\[ \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \]
punto!
La tua funzione di partenza \(f(x) = x^2 \sin(1/x) \) quando \(x \neq 0 \) e \( f(0)=0 \) è continua ovunque e derivabile ovunque.
È derivabile ovunque poiché per ogni \( x \in \mathbb{R} \) esiste il limite
\[ \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \]
quando \(x \neq 0 \) hai che \( f'(x) = 2x \sin(1/x ) - \cos(1/x) \) mentre \( f'(0)=0\). La derivata \(f' \) esiste in ogni punto ma è discontinua in \(x = 0 \).
ps: esistono anche funzioni derivabili ovunque con derivata discontinua ovunque
\[ \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \]
punto!
La tua funzione di partenza \(f(x) = x^2 \sin(1/x) \) quando \(x \neq 0 \) e \( f(0)=0 \) è continua ovunque e derivabile ovunque.
È derivabile ovunque poiché per ogni \( x \in \mathbb{R} \) esiste il limite
\[ \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \]
quando \(x \neq 0 \) hai che \( f'(x) = 2x \sin(1/x ) - \cos(1/x) \) mentre \( f'(0)=0\). La derivata \(f' \) esiste in ogni punto ma è discontinua in \(x = 0 \).
ps: esistono anche funzioni derivabili ovunque con derivata discontinua ovunque
"3m0o":[/quote]
[quote="lasy"]
$ lim_{x \to 0} f'(x) $ non esiste $ rArr $ $ f'(x) $ non è continua in $ x=0 $ $ rArr $ $ f(x) $ non è derivabile in $ x=0 $, in quale delle due implicazioni sbaglio?
La seconda! E comunque non hai risposto alla mia domanda, come vorresti usare quel metodo per dimostrare che il limite di \( \frac{f(h)-f(0)}{h} \) non esiste quando \(h \to 0 \) ?
se è $f(x) = x^2 sin(1/x)$ allora
$lim_{x \to 0} f'(x) = lim_{x \to 0}( 2x sin(1/x) - cos(1/x))$ non esiste, di qui pensavo di poter arrivare a $f(x)$ non è derivabile in $x=0$ con le implicazioni di sopra.
quindi per studiare la derivabilità in $x=0$ sono costretto a applicare la definizione di derivata, giusto?
spero di aver spiegato il mio dubbio
"lasy":
$lim_{x \to 0} f'(x)$ non esiste $rArr$ $f'(x)$ non è continua in $x=0$
Ad essere pignoli, quest'implicazione è vera solo se assumi che è definita la funzione \(f'(x)\) in \(x=0\), quindi stai già assumendo che la derivata di \(f\) in zero esiste, altrimenti se la derivata non è definita in \( 0 \) non ha senso domandarsi se la derivata è continua o meno in \(0\)
"3m0o":
[quote="lasy"]
$ lim_{x \to 0} f'(x) $ non esiste $ rArr $ $ f'(x) $ non è continua in $ x=0 $
Ad essere pignoli, quest'implicazione è vera solo se assumi che è definita la funzione \( f'(x) \) in \( x=0 \), quindi stai già assumendo che la derivata di \( f \) in zero esiste, altrimenti se la derivata non è definita in \( 0 \) non ha senso domandarsi se la derivata è continua o meno in \( 0 \)[/quote]
Ti faccio un esempio:
Prendi la funzione \( f(x) = x^2 \) quando \(x \neq 2 \) e \( f(2) = 2 \). Allora la funzione è derivabile ovunque tranne che in \( x= 2 \), infatti
\[ \lim_{h \to 0} \frac{(2+h)^2 -2}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{4+4h+h^2 -2}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{2+4h+h^2}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{2}{h}\]
che non esiste
Quando \( x \neq 2 \) abbiamo invece la derivata esiste e vale \( f'(x) = 2x \), ora abbiamo chiaramente che
\[ \lim_{x \to 2} 2x = 4 \]
esiste ma questo non vuol dire che \(f'\) è continua \(x=2\) perché non è definita in \(x=2\).
Allo stesso modo se prendi la funzione \( f(x) = \left| x \right| \) è derivabile ovunque tranne che in \( x= 0 \), hai che la derivata \( f'(x) = 1 \) quando \( x > 0 \) e \( f'(x) = -1 \) quando \( x < 0 \). E chiaramente
\[ \lim_{x \to 0} f'(x) \]
non esiste in questo caso, però non vuol dire che la funzione \(f' \) è discontinua in \(x=0\), perché non è definita in \(x=0\), è diverso!
ok chiaro...
dunque qual è il metodo di procedere consigliato per lo studio dei punti di non derivabilità? fare sempre ricorso alla definizione? oppure in qualche caso si può usare lo studio della continuità della derivata?
dunque qual è il metodo di procedere consigliato per lo studio dei punti di non derivabilità? fare sempre ricorso alla definizione? oppure in qualche caso si può usare lo studio della continuità della derivata?
"lasy":
in qualche caso si può usare lo studio della continuità della derivata?
La continuità della derivata non ha nessun legame con la derivabilità della funzione. Non sono legate in alcun modo, anche perché per parlare di continuità/discontinuità di derivata in un punto stai già assumendo la derivabilità della funzione in quel punto! Se una funzione non è derivabile in un certo punto, non puoi parlare ne di continuità ne di discontinuità della derivata in quel punto siccome non esiste la derivata. Se invece la funzione è derivabile in un certo punto, allora la derivata può essere a priori sia continua che discontinua in quel punto. In definitiva se ti domandi "la derivata è continua in \(x_0 \)?" implicitamente stai già dicendo che la derivata in \(x_0\) esiste! Più chiaro così ?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo