Limite

[StellaMartensitica]

Salve,
come si risolve questo limite:
$\lim_{x \to ±\infty} [root(3)(x^3-x^2)-x]$
Ho provato con il teorema di Del'Hopital ma diventa ancora più impestato.
Ho provato a raccogliere ogni cosa mi venisse in mente, ma niente: questo limite non riesce.
Grazie a quanti mi potranno dare una mano.

[@melia]

Devi moltiplicare numeratore e denominatore per
$root(3)((x^3-x^2)^2) +xroot(3)(x^3-x^2)+x^2$
In pratica devi utilizzare la forma $a-b=((a-b)*(a^2+ab+b^2))/(a^2+ab+b^2)=(a^3-b^3)/(a^2+ab+b^2)$

[StellaMartensitica]

Direi che ci voleva un po' di creatività (o che ci voleva conoscere bene bene i prodotti notevoli). Non è il solito esercizio "meccanico".
Grazie.

[axpgn]

Beh, "razionalizzare" è un metodo abbastanza meccanico però non è finita lì ... ...
Per curiosità, come prosegui e cosa ti viene ?

Cordialmente, Alex

[StellaMartensitica]

Allora... Parto da qui:
$ \lim_{x \to ±\infty} [root(3)(x^3-x^2)-x] $
Ma ragiono solo sulla funzione senza riscrivere il limite:

$root(3)(x^3-x^2)-x=((root(3)(x^3-x^2)-x)*(root(3)((x^3-x^2)^2) +xroot(3)(x^3-x^2)+x^2))/( root(3)((x^3-x^2)^2) +xroot(3)(x^3-x^2)+x^2)$
A questo punto svolgo i conti al numeratore del secondo membro:
$((root(3)(x^3-x^2)-x)*(root(3)((x^3-x^2)^2) +xroot(3)(x^3-x^2)+x^2))/( root(3)((x^3-x^2)^2) +xroot(3)(x^3-x^2)+x^2)=$

$=(x^3-x^2-x^3)/[root(3)((x^3-x^2)^2) + x*root(3)(x^3-x^2)+x^2]=$

divido sopra e sotto per "$x^2$"

$=-{1/[root(3)(((x^3-x^2)/(x^3))^2)+root(3)((x^3-x^2)/(x^3))+1]}=$

$=(-1)/(root(3)((1-1/x)^2)+root(3)(1-1/x)+1)$

Infine:
$\lim_{x \to ±\infty} [root(3)(x^3-x^2)-x]=\lim_{x \to ±\infty}[(-1)/(root(3)((1-1/x)^2)+root(3)(1-1/x)+1)]=-1/3$

E direi che non c'è altro da aggiungere, ma avrei una domanda...
Esistono medodi più brevi (con il significato di meno "calcolosi") e generali per risolvere questi limiti del tipo:

$\lim_{x \to ±\infty} [root(n)(x^n-p(x))-x] , n in NN : n>1$ con $p(x)$ un polinomio qualsiasi di grado $m in NN : m>1, m

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[francicko]

Il limite che hai trovato è corretto, come lo è il suo svolgimento, però essendo una forma indeterminata $infty-infty$, almeno sotto questa forma Hopital non è applicabile.
Esiste un metodo più immediato per arrivare al risultato partendo dalla conoscenza della seguente uguaglianza asintotica valevole per $t->0$ :
$(1+t)^(alpha)~~1+alphat $
La giustificazione dell'identità asintotica risiede nel fatto che l'equazione della retta tangente nel punto $t=0$ di $root (alpha)(1+t)=(1+t)^(alpha) $ è appunto $1+alphat $, ed nell'immediato intorno del punto $t=0$, il valore della retta tangente tende a coincidere con il valore della funzione $root (alpha)(1+t) $, pertanto sempre nell'immediato intorno è plausibile sostituire l'equazione della retta tangente all'equazione della funzione.
Nel tuo caso $alpha=1/3$ ed $t=-1/x $ pertanto avrai:
$root(3) (1-1/x)=(1-1/x)^(1/3)~~(1-1/(3x)) $
Sostituendo questa identità asintotica nel limite iniziale avrai:
$lim_(x->infty)[root (1/3)(x^3-x^2)-x] $ $=lim_(x->infty)root(3)(x^3 (1-x^2/x^3)) -x$ $=lim_(x->infty)xroot (3)(1-1/x)-x $ $=lim_(x->infty)x (root (3)(1-1/x)-1)$ $=lim_(x->infty)x (1-1/(3x)-1) $ $=lim_(x->infty)x (-1/(3x))=-1/3$

[StellaMartensitica]

Quindi il passaggio da fare era questo:
$ lim_(x->0)[((1+x)^\alpha - 1)/x] =\alpha$
all'equivalenza $ (1+x)^(alpha)~~1+alphax , x \rightarrow 0 $?
In ogni caso grazie.

[@melia]

Esatto.

[francicko]

Sì esatto , a patto però di porre $t=-1/x $, ed il limite diventa $lim_(x->+infty)x[root (3) [1-1/x)-1]$ $=lim_(x->+infty )[[ root (3)(1-1/x)-1]/(1/x)] $ $=lim_(t->0)[[root (3)(1+t)-1]/(-t)] $ ossia $lim_(t->0 )[[(1+t)^(1/3)-1]/(-t)]=lim_(t->0)[-[1+t/3-1]/t]$ $=-1/3$ $=$ $-alpha$

[orsoulx]

"francicko":...però per x→+∞, in quanto dobbiamo rimanere nel campo dei numeri reali R...

Quali problemi sorgono per $ x rightarrow - oo $?
Ciao

[francicko]

x@orsolux; hai ragione, provvedo subito a correggere il post, non so perché ma pensavo la radice come quadrata , il limite esiste sia per $x->+infty $ che per $x->-infty $è vale $-1/3$, in ambedue i casi, trattandosi di una radice cubica.