Limite
Non riesco a venire a capo del seguente esercizio
Calcolare i valori di $a$, $b$ e $c$ per cui
$\lim_{x \to \infty} sqrt{x^4-2x^2+7x +1} - ax^2-bx -c = 0$
Io, ma vi prego di correggere l'algebra dei limiti di cui non sono sicuro, ho ragionato così:
$\lim_{x \to \infty} sqrt{x^4-2x^2+7x +1} + \lim_{x \to \infty} - ax^2-bx -c = 0$
$ \frac {\lim_{x \to \infty} sqrt{x^4-2x^2+7x +1}} {\lim_{x \to \infty} ax^2 + bx + c} = 1$
$\lim_{x \to \infty} \frac sqrt {1 - \frac {2}{x^2} + \frac {7}{x^3} + \frac {1}{x^4}} {a + \frac {b}{x} + \frac {c}{x^2}} = 1 $
Da cui $a = 1$
Tuttavia le soluzioni sono, e sono giuste, $a = 1$, $b= 0$, $c = -1$
Vi pregherei , se possibile, di indicarmi la strada, non tanto di risolvere l'esercizio, per dir così, da cima a fondo.
In ogni caso, grazie anticipatamente .
Calcolare i valori di $a$, $b$ e $c$ per cui
$\lim_{x \to \infty} sqrt{x^4-2x^2+7x +1} - ax^2-bx -c = 0$
Io, ma vi prego di correggere l'algebra dei limiti di cui non sono sicuro, ho ragionato così:
$\lim_{x \to \infty} sqrt{x^4-2x^2+7x +1} + \lim_{x \to \infty} - ax^2-bx -c = 0$
$ \frac {\lim_{x \to \infty} sqrt{x^4-2x^2+7x +1}} {\lim_{x \to \infty} ax^2 + bx + c} = 1$
$\lim_{x \to \infty} \frac sqrt {1 - \frac {2}{x^2} + \frac {7}{x^3} + \frac {1}{x^4}} {a + \frac {b}{x} + \frac {c}{x^2}} = 1 $
Da cui $a = 1$
Tuttavia le soluzioni sono, e sono giuste, $a = 1$, $b= 0$, $c = -1$
Vi pregherei , se possibile, di indicarmi la strada, non tanto di risolvere l'esercizio, per dir così, da cima a fondo.
In ogni caso, grazie anticipatamente .
Risposte
moltiplica e dividi per $sqrt{x^4-2x^2+7x+1}+(ax^2+bx+c)$
a questo punto,affinchè il limite del rapporto sia zero bisogna imporre che il polinomio al numeratore sia di grado minore di 2
a questo punto,affinchè il limite del rapporto sia zero bisogna imporre che il polinomio al numeratore sia di grado minore di 2
Giusto !
Facendo i calcoli al numeratore si ottiene
$x^4( 1 - a^2) - 2x^3 (ab) - x ^2 (2ac +b^2+2) + x (7 - 2bc) + 1 - c^2$
Da cui
$a = \pm 1 $
$b = 0$
$c = \mp 1 $
Ora bisognerebbe domandarsi il perché della 'soluzione' di troppo...
Facendo i calcoli al numeratore si ottiene
$x^4( 1 - a^2) - 2x^3 (ab) - x ^2 (2ac +b^2+2) + x (7 - 2bc) + 1 - c^2$
Da cui
$a = \pm 1 $
$b = 0$
$c = \mp 1 $
Ora bisognerebbe domandarsi il perché della 'soluzione' di troppo...
la soluzione (-1,0,1) non è accettabile perchè se $a$ è negativo il limite è uguale a $+\infty$
Sì, ero arrivato alla evidente conclusione che se $a = -1$ , il limite è del tipo infinito + infinito ed è dunque $+\infty$
Ma se ci dovessimo domandare, a priori, perché la seconda soluzione non è accettabile, come rispondere ? Ossia, quale passaggio(elevamento al quadrato e trascuratezza del segno della radice o qualcos'altro ) ha reso valida una soluzione che in principio non poteva essere valida ?
Comunque sia, grazie per l'aiuto.
Ma se ci dovessimo domandare, a priori, perché la seconda soluzione non è accettabile, come rispondere ? Ossia, quale passaggio(elevamento al quadrato e trascuratezza del segno della radice o qualcos'altro ) ha reso valida una soluzione che in principio non poteva essere valida ?
Comunque sia, grazie per l'aiuto.
in effetti il problema andava impostato imponendo subito la condizione $a>0$,necessaria affinchè il limite possa valere zero
Giusto.
Grazie mille, davvero.
Grazie mille, davvero.
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