Limite 0 x infinito
ciao a tutti ho questo limite che nn ricordo come si fa
$lim x->0 x*ln(x)$
quando ho $0 * \infty$ come risolvo?
grazie
$lim x->0 x*ln(x)$
quando ho $0 * \infty$ come risolvo?
grazie
Risposte
$lim_(x->0) x*ln(x)=lim_(x->0) ( ln(x))/(1/x)$ e poi applichi De l'Hopital
a ok applico de l'hopital cioè faccio le derivate..
ma questo sistema(de l'hopital) posso applicarlo a tutti i limiti? o solo per alcuni casi particolari?
e inoltre qual è la regola generale di applicazione di de l'hopital..
perchè quiì hai fatto il log naturale di x diviso la sua derivata..ma x?
ma questo sistema(de l'hopital) posso applicarlo a tutti i limiti? o solo per alcuni casi particolari?
e inoltre qual è la regola generale di applicazione di de l'hopital..
perchè quiì hai fatto il log naturale di x diviso la sua derivata..ma x?
Se non sbaglio lo puoi applicare solo quando ti si presenta una forma indeterminata del tipo $(0/0)$ o $((oo)/(oo))$.
La regola dice che se ti trovi in una della forme indeterminate qui sopra, allora il limite del quoziente $f(x)/g(x)$ e il limite del quoziente delle derivate $(f'(x))/(g'(x))$ tenderanno allo stesso valore.
Nel tuo caso non ha diviso il logaritmo per la sua derivata (è solo una coincidenza), ma la $x$ che prima avevi al numeratore è stata spostata al denominatore.
La regola dice che se ti trovi in una della forme indeterminate qui sopra, allora il limite del quoziente $f(x)/g(x)$ e il limite del quoziente delle derivate $(f'(x))/(g'(x))$ tenderanno allo stesso valore.
Nel tuo caso non ha diviso il logaritmo per la sua derivata (è solo una coincidenza), ma la $x$ che prima avevi al numeratore è stata spostata al denominatore.
"burm87":
Se non sbaglio lo puoi applicare solo quando ti si presenta una forma indeterminata del tipo $(0/0)$ o $((oo)/(oo))$.
Non sbagli, per questo motivo ho trasformato il limite proposto dalla forma originale $0*oo$, alla forma $oo/oo$.
senza ricorrere a Hopital, questo limite già dalle superiori me l'avevano fatto risolvere con il cambio di variabile
$\lim_(x\to 0) x\ln x=( ( x=1/t ),( t=1/x\to+\infty ) ) =\lim_(t\to +\infty) 1/t \ln(1/t)=\lim_(t\to+\infty)(\ln(1)-\ln(t))/(t)=0$
$\lim_(x\to 0) x\ln x=( ( x=1/t ),( t=1/x\to+\infty ) ) =\lim_(t\to +\infty) 1/t \ln(1/t)=\lim_(t\to+\infty)(\ln(1)-\ln(t))/(t)=0$
"@melia":
$lim_(x->0) x*ln(x)=lim_(x->0) ( ln(x))/(1/x)$ e poi applichi De l'Hopital
applicando il de l'hopital bisogna fare le derivate no?
quindi avrò $(1/x)*(1/x)-ln(x)*(-1/x^2)$
quindi $(1/x^2) -ln(x)*(-1/x^2)$
poi come proseguo?
"21zuclo":
senza ricorrere a Hopital, questo limite già dalle superiori me l'avevano fatto risolvere con il cambio di variabile
$ \lim_(x\to 0) x\ln x=( ( x=1/t ),( t=1/x\to+\infty ) ) =\lim_(t\to +\infty) 1/t \ln(1/t)=\lim_(t\to+\infty)(\ln(1)-\ln(t))/(t)=0 $
ti sembrerà strano ma purtroppo io alle superiori non ho fatto matematica..grazie al mio prof che ci raccontava storielle..per cui questo metodo nn so farlo..
so fare soltanto il metodo più semplice..ossia quello di andare a sostituire direttamente..ma quando mi trovo limiti un po' più difficili nn so farli
Il tuo quoziente $f(x)/g(x)$ è $lnx/(1/x)$, quindi avremo $f(x)=lnx$ e $g(x)=1/x$. Dovendo fare il quoziente delle derivate ottieniamo: $f'(x)=1/x$ e $g'(x)=-1/x^2$.
Il limite diventa quindi $lim_(x->0) (1/x)/(-1/x^2)=lim_(x->0)1/x*(-x^2)=lim_(x->0) -x=0$
Il limite diventa quindi $lim_(x->0) (1/x)/(-1/x^2)=lim_(x->0)1/x*(-x^2)=lim_(x->0) -x=0$
a ok grazie. faccio le derivate e poi mi da $-x$ e quindi 0..mi trovo
ma se invece facessi il contrario, nel senso
$x/(1/ln(x))$
avrei le derivate così
$1/((-1/x)/(lnx)^2)$ non dovrei avere lo stesso risultato?
la derivata mi viene $-xln(x)^2$
e non esce la stessa cosa
poi inoltre ad esempio con qesto limite come mi comporto?
$ lim_(x->\infty) (2x-sqrt(4x^2+x))$
a me hanno insegnato che:
poichè tendono tutte a infinito prendo quello di ordine maggione (4 o 2)
$2x-4x^(2/2)+x$
dunque avrei $lim_(x->\infty) 4x =\infty$
perchè non è così?
ma se invece facessi il contrario, nel senso
$x/(1/ln(x))$
avrei le derivate così
$1/((-1/x)/(lnx)^2)$ non dovrei avere lo stesso risultato?
la derivata mi viene $-xln(x)^2$
e non esce la stessa cosa
poi inoltre ad esempio con qesto limite come mi comporto?
$ lim_(x->\infty) (2x-sqrt(4x^2+x))$
a me hanno insegnato che:
poichè tendono tutte a infinito prendo quello di ordine maggione (4 o 2)
$2x-4x^(2/2)+x$
dunque avrei $lim_(x->\infty) 4x =\infty$
perchè non è così?
Primo esercizio: $lim_(x->0)xlnx$
I tuoi calcoli applicano correttamente il teorema, ma con un risultato finale più complicato del limite iniziale, quindi non vanno bene. Succede quando si è portata a denominatore la funzione sbagliata, quindi portiamo a denominatore l'altra; otteniamo
$=lim_(x->0)(lnx)/(1/x)$
ed ora applicando il teorema non hai altre difficoltà.
Secondo esercizio: radicali.
Comincia col distinguere fra i due infiniti (con i polinomi è inutile, ma negli altri casi è quasi sempre necessario). Per $x->-oo$ non è una forma indeterminata, mentre per $x->+oo$ lo è. La regola che citi è un'abbreviazione del mettere in evidenza la $x$ all'ordine maggiore, ma facciamo veramente i calcoli:
$=lim_(x->+oo)x(2-sqrt(4-1/x))$
che è del tipo $oo*0$: non ci siamo.
Devi invece razionalizzare il numeratore, in modo da non essere più nella forma $oo-oo$; continui poi mettendo in evidenza la $x$ alla massima potenza.
I tuoi calcoli applicano correttamente il teorema, ma con un risultato finale più complicato del limite iniziale, quindi non vanno bene. Succede quando si è portata a denominatore la funzione sbagliata, quindi portiamo a denominatore l'altra; otteniamo
$=lim_(x->0)(lnx)/(1/x)$
ed ora applicando il teorema non hai altre difficoltà.
Secondo esercizio: radicali.
Comincia col distinguere fra i due infiniti (con i polinomi è inutile, ma negli altri casi è quasi sempre necessario). Per $x->-oo$ non è una forma indeterminata, mentre per $x->+oo$ lo è. La regola che citi è un'abbreviazione del mettere in evidenza la $x$ all'ordine maggiore, ma facciamo veramente i calcoli:
$=lim_(x->+oo)x(2-sqrt(4-1/x))$
che è del tipo $oo*0$: non ci siamo.
Devi invece razionalizzare il numeratore, in modo da non essere più nella forma $oo-oo$; continui poi mettendo in evidenza la $x$ alla massima potenza.
"giammaria":
$ =lim_(x->+oo)x(2-sqrt(4-1/x)) $
qui hai messo la x in evidenza ok
però non ho capito come proseguire quando dici
"giammaria":
Devi invece razionalizzare il numeratore, in modo da non essere più nella forma $ oo-oo $; continui poi mettendo in evidenza la $ x $ alla massima potenza.
come mi comporto
Ecco l'inizio dei calcoli:
$=lim_(x->+oo)(2x-sqrt(4x^2+x))*(2x+sqrt(4x^2+x))/(2x+sqrt(4x^2+x))=lim_(x->+oo)(4x^2-(4x^2+x))/(2x+sqrt(4x^2+x))=...$
$=lim_(x->+oo)(2x-sqrt(4x^2+x))*(2x+sqrt(4x^2+x))/(2x+sqrt(4x^2+x))=lim_(x->+oo)(4x^2-(4x^2+x))/(2x+sqrt(4x^2+x))=...$
"giammaria":
Ecco l'inizio dei calcoli:
$=lim_(x->+oo)(2x-sqrt(4x^2+x))*(2x+sqrt(4x^2+x))/(2x+sqrt(4x^2+x))=lim_(x->+oo)(4x^2-(4x^2+x))/(2x+sqrt(4x^2+x))=...$
io ho fatto diversamente
ossia ho scelto nella radice quella di ordine maggiore (la x) poichè tendono a infinito quindi $sqrt(4x^2)$
poi ho estrapolato la radice venendo
$2X-2X$ Equindi 0 così si può fare vero?
poi ho anche un altro limite che mi da problemi..
$lim_(x->0)(3-2*lg(x))/x^2$
ho una forma indeterminata $\infty/0$
decido di portarlo a infinito su infinito $(3-2*lg(x))/(1/x^2)$
facendo le derivate varie il rislutato è $x^2$ e quindi =0..
ma il risultato è +infinito.
dove sbaglio
Ciao, no il primo limite non si può fare come hai detto. Infatti verrebbe $$
\lim_{x\to +\infty} \left(2x - 2x\sqrt{1+\frac{1}{4x}}\right) = \lim_{x\to +\infty} \left[2x\left(1-\sqrt{1+\frac{1}{4x}}\right)\right] = \left[0\cdot \infty\right]
$$ quindi il limite è ancora in forma indeterminata. Il metodo corretto è quello che ti ha proposto giammaria: prova a portarlo fino in fondo e vedrai che il risultato (corretto) è $-1/4$.
\lim_{x\to +\infty} \left(2x - 2x\sqrt{1+\frac{1}{4x}}\right) = \lim_{x\to +\infty} \left[2x\left(1-\sqrt{1+\frac{1}{4x}}\right)\right] = \left[0\cdot \infty\right]
$$ quindi il limite è ancora in forma indeterminata. Il metodo corretto è quello che ti ha proposto giammaria: prova a portarlo fino in fondo e vedrai che il risultato (corretto) è $-1/4$.
Per il secondo sbagli nel fatto che $oo/0$ non è una forma indeterminata ma fa semplicemente infinito.
ah ok non è una forma indeterminata. giusto grazie.
allora per il primo limite come possiamo fare io non l'ho mai fatti così e non riesco a capire..ad esempio perchè abbiamo portato tutto al denominatore? per modificare il segno?
[/quote]
allora per il primo limite come possiamo fare io non l'ho mai fatti così e non riesco a capire..ad esempio perchè abbiamo portato tutto al denominatore? per modificare il segno?
"xab":
[quote="giammaria"]Ecco l'inizio dei calcoli:
$ =lim_(x->+oo)(2x-sqrt(4x^2+x))*(2x+sqrt(4x^2+x))/(2x+sqrt(4x^2+x))=lim_(x->+oo)(4x^2-(4x^2+x))/(2x+sqrt(4x^2+x))=... $
[/quote]
Quello che è stato fatto si può chiamare "razionalizzazione inversa": sfruttando il prodotto notevole $$(A+B)(A-B)=A^2 - B^2$$ è stata tolta la forma indeterminata, moltiplicando e dividendo per la stessa (opportuna) espressione.
e questa razionalizzazione vale sempre..cioè io potrei applicarla ogni volta?
ad ogni modo ottengo
$(-x)/(2x+sqrt(4x^2+x))$ infinito/infinito
quindi scelgo il $sqrt(4x^2)$ e poichè $2x+sqrt(4x^2)$ è uguale a $4x $ viene $-1/4$?
sono un po' confuso su questo metodo della razionalizzazione..quando si fa?
poi perchè quì sia al denominatore che al nominatore il segno è rimasto +? e perchè il segno lo abbiamo messo proprio lì
[/quote]
ad ogni modo ottengo
$(-x)/(2x+sqrt(4x^2+x))$ infinito/infinito
quindi scelgo il $sqrt(4x^2)$ e poichè $2x+sqrt(4x^2)$ è uguale a $4x $ viene $-1/4$?
sono un po' confuso su questo metodo della razionalizzazione..quando si fa?
poi perchè quì sia al denominatore che al nominatore il segno è rimasto +? e perchè il segno lo abbiamo messo proprio lì
"xab":
[quote="giammaria"]Ecco l'inizio dei calcoli:
$(2x+sqrt(4x^2+x))/(2x+sqrt(4x^2+x))$
[/quote]
La razionalizzazione si fa quando, in presenza di radici, si ha la forma $oo-oo$. Ora non l'hai più e continui nel modo che avevi già indicato, e cioè mettendo in evidenza la $x$ alla massima potenza. Ottieni
$=lim_(x->+oo)(-x)/(2x+sqrt(x^2(4+1/x)))=lim_(x->+oo)(-x)/(2x+xsqrt(4+1/x))=lim_(x->+oo)(-x)/(x(2+sqrt(4+1/x)))=...$
$=lim_(x->+oo)(-x)/(2x+sqrt(x^2(4+1/x)))=lim_(x->+oo)(-x)/(2x+xsqrt(4+1/x))=lim_(x->+oo)(-x)/(x(2+sqrt(4+1/x)))=...$
ma una volta che sono arrivato a questo punto
$(-x)/(2x+sqrt(4x^2+x))$
nella radice non posso scegliere 4x^2 poichè è più forte di x
quindi $2x+sqrt(4x^2) = 2x+2x =4x$
e poichè $(-x)/(4x)$ tendono entrambi ad infinito mi esce $-1/4$
è sbagliato così?
tra l'altro non capisco questo passaggio cioè
prima era così
$(2x+xsqrt(4+1/x))$
$(-x)/(2x+sqrt(4x^2+x))$
nella radice non posso scegliere 4x^2 poichè è più forte di x
quindi $2x+sqrt(4x^2) = 2x+2x =4x$
e poichè $(-x)/(4x)$ tendono entrambi ad infinito mi esce $-1/4$
è sbagliato così?
tra l'altro non capisco questo passaggio cioè
"giammaria":
$lim_(x->+oo)(-x)/(x(2+sqrt(4+1/x)))=... $
prima era così
$(2x+xsqrt(4+1/x))$
Dall'ultima riga che hai scritto metti in evidenza $x$.
Per il resto, non è sbagliato ma è pericoloso: non sempre è lecito trascurare gli infiniti di ordine inferiore. In questo caso non comportava errori, ma hai visto che facendolo subito, nel modo in cui avevi inizialmente svolto l'esercizio, modificava il risultato. Nel dubbio, finché non avrai acquistato molta padronanza, è meglio non farlo mai e limitarsi sempre a mettere in evidenza la $x$ alla massima potenza.
Per il resto, non è sbagliato ma è pericoloso: non sempre è lecito trascurare gli infiniti di ordine inferiore. In questo caso non comportava errori, ma hai visto che facendolo subito, nel modo in cui avevi inizialmente svolto l'esercizio, modificava il risultato. Nel dubbio, finché non avrai acquistato molta padronanza, è meglio non farlo mai e limitarsi sempre a mettere in evidenza la $x$ alla massima potenza.
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