$lim_(x->0)(xsen(1/x))$

[nato_pigro1]

Quanto vale questo limite?

$lim_(x->0)(xsen(1/x))$

[Dorian1]

$= 0$ ... Si applica la regola LIMITATAxINFINITESIMA=INFINITESIMA...

Hai che $-1<= sen (1/x) <= 1 AA x in RR$ (LIMITATA) e la funzione $x$ tende a $0$ (INFINITESIMA)...

[Steven11]

$-x


Carabinieri...

[nato_pigro1]

no, un attimo, io sapevo che lim_(x->0)sin(1/x) non esiste proprio... o no?

e poi io la regola
"LIMITATAxINFINITESIMA=INFINITESIMA"
non l'ho mai sentita... come posso giustificarla?

[gugo82]

"nato_pigro":no, un attimo, io sapevo che lim_(x->0)sin(1/x) non esiste proprio... o no?

e poi io la regola
"LIMITATAxINFINITESIMA=INFINITESIMA"
non l'ho mai sentita... come posso giustificarla?

Siano $f,g:[a,b] to R$ e $c in [a,b]$.

Se $f$ è limitata intorno a $c$ (ossia se esistono $delta_1>0$ ed $Mge 0$ tali che $AA x in ]c-delta_1,c+delta_1[cap [a,b], |f(x)|le M$) e se $lim_(x to c) g(x)=0$ (ossia se $AA epsilon >0$ esiste $delta_2>0$ tale che $AAx in ]c-delta_1,c+delta_2[ cap[a,b]-{c}, |g(x)|
Dim.: Dobbiamo far vedere che $AA epsilon>0$ esiste $delta >0$ in modo che $AAx in ]c-delta,c+delta[cap [a,b]-{c}, |f(x)*g(x)| Se $M=0$ allora $g=0$ in $[a,b]$ quindi la funzione $f*g$ è nulla in $[a,b]$ e l'enunciato del teorema è certamente valido.
Supponiamo che $M>0$: fissato $epsilon >0$, in corrispondenza del numero positivo $epsilon/M$ possiamo trovare un $delta_2>0$ tale che risulti:

1) $quad |g(x)|
d'altra parte sappiamo che esiste un $delta_1>0$ tale che:

2) $quad AA x in ]c-delta_1,c+delta_1[cap [a,b], |f(x)|le M quad$.

Se scegliamo $delta=min{delta_1,delta_2}$ (ossia $delta$ uguale al più piccolo dei due numeri prima determinati) per i punti dell'insieme $]c-delta,c+delta[cap[a,b]-{c}$ valgono entrambe le disuguaglianze presenti in 1) e 2): ne consegue che:

3) $quad AA x in ]c-delta,c+delta[cap[a,b]-{c}, |f(x)*g(x)|=|f(x)|*|g(x)|< M*epsilon/M=epsilon$.

Data l'arbitrarietà della scelta di $epsilon$ nell'insieme dei reali positivi, la 3) significa proprio che $lim_(x to c) f(x)*g(x)=0$. QED.

[Fioravante Patrone1]

Anche se ho visto che Gugo82 è intervenuto, mi intrufolo anch'io col mio stile più lieve

"nato_pigro":no, un attimo, io sapevo che lim_(x->0)sin(1/x) non esiste proprio... o no?

vero, ma chissenefrega?

"nato_pigro":e poi io la regola
"LIMITATAxINFINITESIMA=INFINITESIMA"
non l'ho mai sentita... come posso giustificarla?

la dim te l'ha già fatta Steven in 1 riga (e un tintinnar di manette).

Anche se quello che ha scritto lui è sbagliato

Non è $-x

[Steven11]

"Fioravante Patrone":
Anche se quello che ha scritto lui è sbagliato
Non è $-x

Mi dichiaro in arresto per omissione di uguali!
Click-click!
(manette che si chiudono, ovviamente belle strette, così come le mie disuguaglianze, per un giusto contrappasso dantesco)

'Notte

[Gauss91]

$lim_(x->0)sin(1/x)$ non esiste, ed è vero, perché la funzione seno ha un andamento "oscillante", e non ha nessun limite col tendere all'infinito del suo argomento.
Si può però pensarla in questo modo: il seno di qualsiasi valore è compreso tra -1 e +1, quindi in $lim_(x->0)xsin(1/x)$, se provi a "sostituire" 0 con la x (anche se si sa che non è una vera sostituzione ma solamente un ausilio per la risoluzione del limite), ti trovi a moltiplicare 0 per "un qualcosa" che è comunque compreso tra -1 e 1.
sarà quindi $lim_(x->0)xsin(1/x)=0$

[Vincent2]

A me è uscito nel compito...non avrei mai saputo farlo, menomale che io ero nell'altra fila e me la sono scansata!

[Sk_Anonymous]

Puoi anche, per la linearità dell'operatore LIMITE, scindere il limite del prodotto nel prodotto dei limiti, ovvero:
$lim_(x->0) x\ sen(1/x) = lim_(x->0) x * lim_(x->0) sen(1/x)$, e, per la continuità della funzione x, porre $lim_(x->0) x = 0$, pertanto il limite della funzione $lim_(x->0) x\ sen(1/x) = 0$ qualunque sia il limite di $sen (1/x)$ per x che tende a zero.

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

"IvanTerr":Puoi anche, per la linearità dell'operatore LIMITE, scindere il limite del prodotto nel prodotto dei limiti, ovvero:
$lim_(x->0) x\ sen(1/x) = lim_(x->0) x * lim_(x->0) sen(1/x)$, e, per la continuità della funzione x, porre $lim_(x->0) x = 0$, pertanto il limite della funzione $lim_(x->0) x\ sen(1/x) = 0$ qualunque sia il limite di $sen (1/x)$ per x che tende a zero.

Ahi, quello che dici è pericoloso (e ho paura che non c'entri con la linearità dell'operatore limite).. Questi 'spezzamenti' andrebbero fatti solo nel caso in cui i due limiti esistono finiti.

[codino75]

"Martino":[quote="IvanTerr"]Puoi anche, per la linearità dell'operatore LIMITE, scindere il limite del prodotto nel prodotto dei limiti, ovvero:
$lim_(x->0) x\ sen(1/x) = lim_(x->0) x * lim_(x->0) sen(1/x)$, e, per la continuità della funzione x, porre $lim_(x->0) x = 0$, pertanto il limite della funzione $lim_(x->0) x\ sen(1/x) = 0$ qualunque sia il limite di $sen (1/x)$ per x che tende a zero.

Ahi, quello che dici è pericoloso (e ho paura che non c'entri con la linearità dell'operatore limite).. Questi 'spezzamenti' andrebbero fatti solo nel caso in cui i due limiti esistono finiti.[/quote]

quoto.

[Fioravante Patrone1]

gia' che ci sono, quoto anch'io Martino.

Anzi, per dirla papale papale, parlare di linearita' dello "operatore " di limite laddove questo non e' definito e' poco igienico.