L'ennesima disequazione logaritmica

[marcosocio]

Salve a tutti! Ho un problema con questa disequazione logaritmica: $\frac{\ln^2x^2-9}{3-\ln|x|}>0$.

Allora, come sempre ho iniziato dalle condizioni d'esistenza che vengono $x!=0$.

Poi ho studiato il segno di numeratore e denominatore:

$(2\lnx)^2-9>0$, usando l'incognita ausialiaria $t=\lnx$ trovo la disequazione $4t^2-9>0$ che, se non sbaglio, ha come soluzioni $t<-3/2\veet>3/2$, cioè $xe^(3/2)$.

$3-\ln|x|>0$ diventa $\{(x>0),(3-\lnx>0):}\vee\{(x<0),(3-\ln(-x)>0):}$ che mi dà $-e^3
Quindi il risultato finale mi viene: $-e^3

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Risposte

@melia

25 gen 2013, 17:00

L'errore è nello studio del segno del numeratore, non puoi portare fuori la potenza della x. Il numeratore può essere studiato così $(lnx^2)^2-9>0$, usando l'incognita ausialiaria $t=\lnx^2$ trovo la disequazione $t^2-9>0$ che, ha come soluzioni $t<-3 \vee t>3$, cioè $x^2e^(3)$, la prima è impossibile, mentre la seconda diventa .
$x<-e^(3/2) \vv x>e^(3/2)$

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marcosocio

25 gen 2013, 17:12

Scusa non riesco a capire cosa cambia tra $(\lnx^2)^2$ e $(2lnx)^2$. Per la proprietà non posso portare quel 2 davanti?

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@melia

25 gen 2013, 18:09

Intanto le condizioni di esistenza.
$ln x^2$ esiste per $x|=0$, mentre $2lnx$ solo per $x>0$

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vict85

25 gen 2013, 18:35

X @melia: \(\displaystyle e^{-3} = \frac{1}{e^3} > 0 \), quindi la disequazione \(x^2 < e^{-3}\) ha soluzioni. In particolare è l'intervallo compreso tra \(\displaystyle -e^{-\frac32}\) e \(e^{-\frac32}\), escluso lo zero. Concordo ovviamente con te sul fatto che \(\ln x^2 = \ln \lvert x\rvert \), perché altrimenti cambia il dominio.

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marcosocio

25 gen 2013, 18:53

Scusate ma ancora non capisco: quella proprietà quindi non posso applicarla?

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vict85

25 gen 2013, 19:05

"marcosocio":Scusate ma ancora non capisco: quella proprietà quindi non posso applicarla?

Vale solo se \(x>0\), in generale dovresti usare quella del valore assoluto.

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marcosocio

25 gen 2013, 19:13

Quindi scrivere $(2\ln|x|)^2$ sarebbe giusto?

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vict85

25 gen 2013, 19:35

Si, ma non ci guadagni poi molto in termini di calcolo.

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marcosocio

25 gen 2013, 19:38

Sì sì chiaro, era per vedere se avevo capito! Grazie a tutti!

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marcosocio

26 gen 2013, 12:09

Vale lo stesso nelle equazioni? Ad esempio in $\log_2^2x^2+4\log_2sqrt(x)-2=0$ è sbagliato scrivere $(2\log_2x)^2+2\log_2x-2=0$ e poi impostare l'equazione con l'incognita ausiliaria? Perchè la prof in classe ha fatto così e il risultato è uguale a quello del libro.

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minomic

26 gen 2013, 12:16

In questo è corretto per la presenza di $log_2 sqrt x$ che limita il dominio a $(0, +oo)$.

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marcosocio

26 gen 2013, 12:20

Giusto non ci avevo pensato! Grazie!

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[@melia]

L'errore è nello studio del segno del numeratore, non puoi portare fuori la potenza della x. Il numeratore può essere studiato così $(lnx^2)^2-9>0$, usando l'incognita ausialiaria $t=\lnx^2$ trovo la disequazione $t^2-9>0$ che, ha come soluzioni $t<-3 \vee t>3$, cioè $x^2e^(3)$, la prima è impossibile, mentre la seconda diventa .
$x<-e^(3/2) \vv x>e^(3/2)$

[marcosocio]

Scusa non riesco a capire cosa cambia tra $(\lnx^2)^2$ e $(2lnx)^2$. Per la proprietà non posso portare quel 2 davanti?

[@melia]

Intanto le condizioni di esistenza.
$ln x^2$ esiste per $x|=0$, mentre $2lnx$ solo per $x>0$

[vict85]

X @melia: \(\displaystyle e^{-3} = \frac{1}{e^3} > 0 \), quindi la disequazione \(x^2 < e^{-3}\) ha soluzioni. In particolare è l'intervallo compreso tra \(\displaystyle -e^{-\frac32}\) e \(e^{-\frac32}\), escluso lo zero. Concordo ovviamente con te sul fatto che \(\ln x^2 = \ln \lvert x\rvert \), perché altrimenti cambia il dominio.

[marcosocio]

Scusate ma ancora non capisco: quella proprietà quindi non posso applicarla?

[vict85]

"marcosocio":Scusate ma ancora non capisco: quella proprietà quindi non posso applicarla?

Vale solo se \(x>0\), in generale dovresti usare quella del valore assoluto.

[marcosocio]

Quindi scrivere $(2\ln|x|)^2$ sarebbe giusto?

[vict85]

Si, ma non ci guadagni poi molto in termini di calcolo.

[marcosocio]

Sì sì chiaro, era per vedere se avevo capito! Grazie a tutti!

[marcosocio]

Vale lo stesso nelle equazioni? Ad esempio in $\log_2^2x^2+4\log_2sqrt(x)-2=0$ è sbagliato scrivere $(2\log_2x)^2+2\log_2x-2=0$ e poi impostare l'equazione con l'incognita ausiliaria? Perchè la prof in classe ha fatto così e il risultato è uguale a quello del libro.

[minomic]

In questo è corretto per la presenza di $log_2 sqrt x$ che limita il dominio a $(0, +oo)$.

[marcosocio]

Giusto non ci avevo pensato! Grazie!