Lagrange

[stellacometa]

Ragazzi mi spieghereste il teorema di Lagrange? Non riesco a farlo mio..mi sfugge qualcosa! Magari, se potete, anche qualche esempio (senza trigon.)..

thanks

[cavallipurosangue]

Il teorema di Lagrange dice Semplicemente che se si ha una una funzione continua su $[a,b]$ e derivabile almeno su $]a,b[$ esisterà allora un punto $c\in]a,b[$ tale che:
$f'(c)={f(b)-f(a)}/{b-a}=>f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)$

Ti ricorda vagamente...:
$f(x)=f(x_0)+m(x-x_0)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$ ??

Dovrebbe, infatti quest'ultima formula viene usata in geometria analitica per descrivere un fascio di rette.
Il teorema di Lagrange afferma che se sono verificate le ipotesi, allora esisterà almeno un punto in cui la retta tangente al grafico della curva risulta parallela alla secante passante per gli estremi dell'intervallo.

Riprendiamo la prima scrittura. Il secondo membro rappresenta il coefficiente angolare della retta passante per $a$ e $b$, mentre il primo quello della retta tangente al grafico. Se in un punto i due coefficienti sono uguali significa che le due rette sono parallele. In effetti questo teorema può esser visto anche come il teorema di Rolle in un sistema di riferimento ruotato rispetto ad un secondo che prendiamo come riferimento.
Del resto anche le ipotesi sono quasi uguali...

[stellacometa]

La tg risulta parallela alla secante nei punti estremi all'intervallo nel senso che se abbiamo I=[a;b] allora la retta secante interseca la curva in "a" e "b" giusto..e che il coeff della retta secante è uguale a quello della tangente??

[cavallipurosangue]

una volta fissati i due punti sai cha da quelli passa una sola retta, in questo caso la secante e ti calcoli il coefficiente angolare: $m={f(b)-f(a)}/{b-a}$
Poi per il teorema sai che esiste almeno un punto interno a quell'intervallo tale che il coefficiente della retta tangente in quel punto è uguale a quello della secante, quindi le due rette sono parallele. Il coefficiente angolare della retta tangente al grafico è del resto $m=f'(c)$, quindi si ha $f(c)= {f(b)-f(a)}/{b-a}$

[stellacometa]

Ok...ho capito..mille grazie!!!
Che mi dici invece di Rolle?

[cavallipurosangue]

Lasciando perdere la parte piu rigorosa, Rolle è ancora più intuitivo. A parole semplici significa che se prendi un intervallo su cui una funzione sia continua e derivabile e dove gli estremi dell'intervallo abbiano la stessa ordinata ($f(a)=f(b)$) allora esisterà sicuramente almeno un punto in cui la derivata prima si annulla, ossia la tangente al grafico risulta orizzontale.

[stellacometa]

Oooooooooook..grazie mille boy!!!

[cavallipurosangue]

Di niente