La parabola: geometria analitica (79612)
ciao a tutti, mi potete aiutare in questo problema di analitica??
Determinare l'equazione della parabola, avente asse di simmetria parallelo all'asse y, passante per B(0;8) e tangente in A(-4;0) all'asse x. Determinare sull'arco AB di essa un punto P e sulla corda AB un punto Q, in modo che P e Q abbiano la stessa ascissa e che risulti PQ=16/9.
Grazie in anticipo...
Aggiunto 1 minuto più tardi:
Il punto B è (0;8)... scusatemi ma a volte sembro interdetto nello scrivere...
Aggiunto 1 minuto più tardi:
B (0,otto), non so il perchè mi da la faccina...
Determinare l'equazione della parabola, avente asse di simmetria parallelo all'asse y, passante per B(0;8) e tangente in A(-4;0) all'asse x. Determinare sull'arco AB di essa un punto P e sulla corda AB un punto Q, in modo che P e Q abbiano la stessa ascissa e che risulti PQ=16/9.
Grazie in anticipo...
Aggiunto 1 minuto più tardi:
Il punto B è (0;8)... scusatemi ma a volte sembro interdetto nello scrivere...
Aggiunto 1 minuto più tardi:
B (0,otto), non so il perchè mi da la faccina...
Risposte
Ciao, Mirko! Ecco la soluzione:
Il problema ci dice che la parabola da determinare ha l'asse di simmetria parallelo all'asse y. Il che significa che si tratta di una parabola ad asse verticale.
La generica equazione di una parabola ad asse verticale è questa:
Determinati a,b e c, ecco che si definisce perfettamente la parabola che vogliamo ottenere.
Per determinare a,b e c dobbiamo ricorrere alle informazioni di cui disponiamo.
La prima è che il punto B di coordinate (0,8 ) appartiene alla parabola. Quindi le coordinate di B, sostituite nell'equazione della parabola, dovranno soddisfare l'uguaglianza.
Ne deriva che:
La seconda informazione è che la parabola sia tangente nel punto A all'asse x.
Questo significa che la parabola tocca l'asse x in un punto solo (di cui si conoscono le coordinate, ma questa è un'altra faccenda).
Per sapere in generale dove la parabola tocca o taglia l'asse delle x basta imporre y=0, e risolvere l'equazione.
L'equazione diventa allora
Risolvendo l'equazione, nel caso di tangenza, si deve ottenere un delta pari a 0. Questa è infatti la condzione di tangenza: una unica soluzione per la x.
Un delta maggiore di 0, invece, determina due soluzioni distinte, che è una condizione di "secanza" (il termine non esiste, ma permettimi di usarlo) con l'asse x.
Quindi
Andiamo avanti con l'equazione:
Sappiamo però che il delta è pari a 0.
Dunque:
Poichè la tengenza avviene nel punto di coordinate (-4,0), significa che x= -4.
Dunque
Sostituisco questo risultato nella equazione di prima, quella che imponeva un delta pari a 0.
b^2–32*a = 0
Quindi b^2 – 32* b/8 =0
b^2 – 4 b =0
b – 4 =0
Cioè
Sappiamo però che
CONCLUSIONE: L'equazione della parabola è:
Occorre poi determinare le coordinare x,y del punto P.
Determiniamo innanzi tutto la retta passante per A e B.
Essa avrà equazione: y = mx +n.
Poiché sia A che B appartengono alla retta, sostituendo di volta in volta le coordinate dell’uno e dell’altro punto nell’equazione, posso determinare m ed n.
B (0,8 ) comporta che
A (-4,0) comporta che
L'equazione è
la corda AB altro non è che un piccolo tratto di questa retta. A questa retta dovrà appartenere anche Q. Se xq e yq sono le coordinate di questo punto, posso scrivere che:
Il punto P, dal canto suo, appartiene alla parabola, quindi posso scrivere che:
Se PQ = 16/9, poichè i due punti hanno la stessa ascissa, questo significa che:
Dalle quattro equazioni determino le quattro incognite: Xp, Yp, Yq e Xq (di cui a noi interessano però solo Xp e Yp).
Sostituisco dunque la terza e la quarta equazione nella prima.
Risulta che:
Yp = 2Xp + 8 – 16/9 = 2 Xp + (72-16)/9 = 2 Xp + 56/9
Sostituisco questo risultato nella seconda equazione:
1/2 Xp^2 + 4 Xp –2 Xp + 8 –56/9 = 0
Delta = b^2 -4ac = 4– 4 *1/2 * 16/9 = 4 – 32/9 = 4/9
Sono infatti possibili due soluzioni ugualmente valide.
1) Se
2) Se
Fine. Spero di esserti stata d'aiuto. Ciao!
P.S. Apro una parentesi che non c'entra con il problema. Per inserire un emoticon puoi o inserire direttamente le "faccette", oppure digitare appositi comandi sulla tastiera. La "faccina con gli occhiali da sole", per intenderci, può essere ottenuta dalla tastiera digitando 8 e poi la parentesi tonda chiusa. Per questo ogni volta che digitavi 8 + ) appariva l'emoticon. Ti conviene dunque lasciare sempre uno spazio tra l'8 e la ).
Il problema ci dice che la parabola da determinare ha l'asse di simmetria parallelo all'asse y. Il che significa che si tratta di una parabola ad asse verticale.
La generica equazione di una parabola ad asse verticale è questa:
[math]y= ax^2 + bx + c[/math]
Determinati a,b e c, ecco che si definisce perfettamente la parabola che vogliamo ottenere.
Per determinare a,b e c dobbiamo ricorrere alle informazioni di cui disponiamo.
La prima è che il punto B di coordinate (0,8 ) appartiene alla parabola. Quindi le coordinate di B, sostituite nell'equazione della parabola, dovranno soddisfare l'uguaglianza.
Ne deriva che:
[math]8 = c[/math]
La seconda informazione è che la parabola sia tangente nel punto A all'asse x.
Questo significa che la parabola tocca l'asse x in un punto solo (di cui si conoscono le coordinate, ma questa è un'altra faccenda).
Per sapere in generale dove la parabola tocca o taglia l'asse delle x basta imporre y=0, e risolvere l'equazione.
L'equazione diventa allora
[math]0 = ax^2 + bx + 8[/math]
Risolvendo l'equazione, nel caso di tangenza, si deve ottenere un delta pari a 0. Questa è infatti la condzione di tangenza: una unica soluzione per la x.
Un delta maggiore di 0, invece, determina due soluzioni distinte, che è una condizione di "secanza" (il termine non esiste, ma permettimi di usarlo) con l'asse x.
Quindi
[math]ax^2 + bx +8 = 0[/math]
[math]Delta = b^2 -4ac = b^2 -32 a = 0[/math]
Andiamo avanti con l'equazione:
[math]x = -b (+ o -) \sqrt[2]{delta}/2a[/math]
Sappiamo però che il delta è pari a 0.
Dunque:
[math]x = -b/2a[/math]
Poichè la tengenza avviene nel punto di coordinate (-4,0), significa che x= -4.
Dunque
[math]-4 *2a = -b[/math]
[math]a = b/8[/math]
Sostituisco questo risultato nella equazione di prima, quella che imponeva un delta pari a 0.
b^2–32*a = 0
Quindi b^2 – 32* b/8 =0
b^2 – 4 b =0
b – 4 =0
Cioè
[math]b = 4.[/math]
Sappiamo però che
[math]a = b/8 = 4/8 = 1/2.[/math]
CONCLUSIONE: L'equazione della parabola è:
[math]1/2 x^2 + 4 x + 8 = y.[/math]
Occorre poi determinare le coordinare x,y del punto P.
Determiniamo innanzi tutto la retta passante per A e B.
Essa avrà equazione: y = mx +n.
Poiché sia A che B appartengono alla retta, sostituendo di volta in volta le coordinate dell’uno e dell’altro punto nell’equazione, posso determinare m ed n.
B (0,8 ) comporta che
[math]8 = n[/math]
A (-4,0) comporta che
[math]0 = -4m + 8[/math]
quindi [math]4m= 8[/math]
ed [math]m=2[/math]
.L'equazione è
[math]y = 2x + 8[/math]
.la corda AB altro non è che un piccolo tratto di questa retta. A questa retta dovrà appartenere anche Q. Se xq e yq sono le coordinate di questo punto, posso scrivere che:
[math]Yq= 2Xq + 8[/math]
(1° equazione)Il punto P, dal canto suo, appartiene alla parabola, quindi posso scrivere che:
[math]1/2 Xp^2 + 4 Xp + 8 = Yp.[/math]
(2° equazione)Se PQ = 16/9, poichè i due punti hanno la stessa ascissa, questo significa che:
[math]Xq = Xp[/math]
[math]Yq = Yp -16/9 [/math]
(3° e 4° equazione)Dalle quattro equazioni determino le quattro incognite: Xp, Yp, Yq e Xq (di cui a noi interessano però solo Xp e Yp).
Sostituisco dunque la terza e la quarta equazione nella prima.
Risulta che:
[math]Yp + 16/9= 2Xp + 8[/math]
Yp = 2Xp + 8 – 16/9 = 2 Xp + (72-16)/9 = 2 Xp + 56/9
Sostituisco questo risultato nella seconda equazione:
[math]1/2 Xp^2 + 4 Xp + 8 = 2Xp + 56/9.[/math]
1/2 Xp^2 + 4 Xp –2 Xp + 8 –56/9 = 0
[math]1/2 Xp^2 + 2 Xp +16/9 = 0 [/math]
Delta = b^2 -4ac = 4– 4 *1/2 * 16/9 = 4 – 32/9 = 4/9
[math]x = (-b (+ oppure -) \sqrt[2]{delta})/2a = (-2 (+ oppure -) 2/3)/1 [/math]
[math]x = -4/3 oppure -8/3 [/math]
Sono infatti possibili due soluzioni ugualmente valide.
1) Se
[math]Xp = -4/3[/math]
, allora [math]Yp = 2 Xp + 56/9 =
2*(-4/3) + 56/9 = -8/3 + 56/9 = (-24 + 56)/9 = 32/9[/math]
2*(-4/3) + 56/9 = -8/3 + 56/9 = (-24 + 56)/9 = 32/9[/math]
2) Se
[math]Xp = -8/3[/math]
, allora [math]Yp = 2 Xp + 56/9 =
2*(-8/3) + 56/9 = -16/3 + 56/9 = (-48 + 56)/9 = 8/9[/math]
2*(-8/3) + 56/9 = -16/3 + 56/9 = (-48 + 56)/9 = 8/9[/math]
Fine. Spero di esserti stata d'aiuto. Ciao!
P.S. Apro una parentesi che non c'entra con il problema. Per inserire un emoticon puoi o inserire direttamente le "faccette", oppure digitare appositi comandi sulla tastiera. La "faccina con gli occhiali da sole", per intenderci, può essere ottenuta dalla tastiera digitando 8 e poi la parentesi tonda chiusa. Per questo ogni volta che digitavi 8 + ) appariva l'emoticon. Ti conviene dunque lasciare sempre uno spazio tra l'8 e la ).
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