La Funzione n!

[SamB98]

Verifica la seguente identità:
(n+1)²×n!+(n+1)!=(n+2)!

Non riesco a capire come svolgerla

[mc2]

Non e` un'identita`, per favore ricontrolla quello che hai scritto.

[SamB98]

Esempio Svolgimento:
2n!+(n+1)!=(n+3)x(la x sta per moltiplicatore)n!
2n!+(n+1)!=
2n!+(n+1)x(la x sta per moltiplicatore)n!=
(2+n+1)x(la x sta per moltiplicatore)n!=
(n+3)x(la x sta per moltiplicatore)n!
(la prima parte è uguale alla seconda)

Ok, non è un'identità ma come lo provo? Puoi spiegarmelo? grazie.

Il testo è stato corretto. La x sta per moltiplicazione

[mc2]

Ora e` un'identita`!

Primo membro:

[math](n+1)^2\cdot n!+ (n+1)! = n!\left[(n+1)^2+(n+1)\right]=
n!(n+1)[n+1+1]=
[/math]

[math]=n!(n+1)(n+2)=(n+2)![/math]

come volevasi dimostrare.


Quando la relazione e` sbagliata (cioe` non e` un'identita`) per dimostrarlo basta scegliere un valore particolare di n e far vedere che l'uguaglianza non e` soddisfatta. Ad esempio, tornando alla prima relazione (sbagliata):

[math](n+2)^2\cdot n!+ (n+1)! = (n+2)! [/math]

per dimostrare che questa relazione e` assurda basta scegliere un valore a piacere di n, per esempio n=2:


Primo membro:

[math](n+2)^2\cdot n!+ (n+1)! = 4^2\cdot 2 + 6=32+ 6=38 [/math]

Secondo membro:

[math](n+2)!=4!=24[/math]

Come vedi, l'uguaglianza non e` valida e la relazione scritta non e` un'identita`