La differenza di due numeri dispari al quadrato è divisibile
la differenza di due numeri dispari al quadrato è divisibile per 8
per dimostrare questa affermazione va bene dire:
siano n+1 e m+1 due numeri dispari(dove n e m sono ovviamente numeri pari precedenti)
quindi bisogna dimostrare che $((n+1)^2-(m+1)^2)/8 in ZZ$
dato che $(n+1)^2-(m+1)^2=n^2+2n+1-m^2-2m-1=n^2-m^2+2(n-m)$ ora, essendo $n!=m$, ad esempio $n>m$, vuol dire che il quadrato di m sarà necessariamente divisibile per 4(infatti $m>=2$) e n sarà divisibile per 8 (infatti $n>=4$, essendo pari e maggiore di m), la loro differenza sarà divisibile per 4. E essendo $2(n-m)$ una doppia differenza di numeri pari, tale differenza è divisibile per 4. Quindi $n^2-m^2+2(n-m)$ essendo somma di due numeri divisibili per 4 è divisibile per 8.
per dimostrare questa affermazione va bene dire:
siano n+1 e m+1 due numeri dispari(dove n e m sono ovviamente numeri pari precedenti)
quindi bisogna dimostrare che $((n+1)^2-(m+1)^2)/8 in ZZ$
dato che $(n+1)^2-(m+1)^2=n^2+2n+1-m^2-2m-1=n^2-m^2+2(n-m)$ ora, essendo $n!=m$, ad esempio $n>m$, vuol dire che il quadrato di m sarà necessariamente divisibile per 4(infatti $m>=2$) e n sarà divisibile per 8 (infatti $n>=4$, essendo pari e maggiore di m), la loro differenza sarà divisibile per 4. E essendo $2(n-m)$ una doppia differenza di numeri pari, tale differenza è divisibile per 4. Quindi $n^2-m^2+2(n-m)$ essendo somma di due numeri divisibili per 4 è divisibile per 8.
Risposte
e n sarà divisibile per 8
Devi giustificare questa frase, che a me sembra non essere corretta.
essendo somma di due numeri divisibili per 4 è divisibile per 8.
Questa è sbagliata: due numeri divisibili per 4, se sommati, non per forza danno un numero divisibile per 8.
Prendi 12 e 16: la somma 28 non è di certo divisibile per 8.
Ciao.
la differenza di due numeri dispari al quadrato è divisibile per 8
Per dimostrarlo senza usare le congruenze prova a considerare i generici numeri dispari nell'usuale forma $2k+1$, non dovresti avere problemi. Aggiungo un ciao anche io, ciao
.
ah, ok mi sembra di aver capito
dunque si dimostra dicendo:
bisogna dimostrare che $((2a+1)^2-(2b+1)^2)/8 in ZZ$
$(2a+1)^2-(2b+1)^2=4a^2+4a+1-4b^2-4b-1=4a^2-4b^2+4a-4b$ dato che un numero pari moltiplicato per 4 è divisibile per 8 (infatti moltiplicare un numero pari per 4 significa fare il doppio di 4 un certo numero di volte e partendo da $4*2=8$ al crescere del secondo fattore si avranno multipli di otto), e dato che tutti gli addendi della somma sono numeri pari moltiplicati per 4 (e quindi divisibili per 8), tale somma è divisibile per 8 (infatti una somma di numeri divisibili per otto non è altro che una somma di suoi multipli).
cosi va bene?
dunque si dimostra dicendo:
bisogna dimostrare che $((2a+1)^2-(2b+1)^2)/8 in ZZ$
$(2a+1)^2-(2b+1)^2=4a^2+4a+1-4b^2-4b-1=4a^2-4b^2+4a-4b$ dato che un numero pari moltiplicato per 4 è divisibile per 8 (infatti moltiplicare un numero pari per 4 significa fare il doppio di 4 un certo numero di volte e partendo da $4*2=8$ al crescere del secondo fattore si avranno multipli di otto), e dato che tutti gli addendi della somma sono numeri pari moltiplicati per 4 (e quindi divisibili per 8), tale somma è divisibile per 8 (infatti una somma di numeri divisibili per otto non è altro che una somma di suoi multipli).
cosi va bene?
Resta da dimostrare che
$4a^2 + 4a - 4b^2 - 4b$ è divisibile per 8,
che è equivalente a dimostrare che
$a^2+a-b^2-b$ è pari.
Possiamo riscrivere l'espressione così:
$a^2-b^2+a-b = (a+b)(a-b)+a-b = (a+b+1)(a-b)$
ora, il prodotto di queste quantità è sempre pari;
infatti:
1) se $a$ e $b$ sono entrambi pari allora $(a-b)$ è pari;
2) se $a$ e $b$ sono entrambi dispari allora $(a-b)$ è pari;
3) se $a$ e $b$ sono discordi allora $(a+b)$ è dispari e quindi $(a+b+1)$ è pari.
in ogni caso abbiamo una moltiplicazione in cui un fattore è pari, quindi
il prodotto è pari.
C.V.D.
$4a^2 + 4a - 4b^2 - 4b$ è divisibile per 8,
che è equivalente a dimostrare che
$a^2+a-b^2-b$ è pari.
Possiamo riscrivere l'espressione così:
$a^2-b^2+a-b = (a+b)(a-b)+a-b = (a+b+1)(a-b)$
ora, il prodotto di queste quantità è sempre pari;
infatti:
1) se $a$ e $b$ sono entrambi pari allora $(a-b)$ è pari;
2) se $a$ e $b$ sono entrambi dispari allora $(a-b)$ è pari;
3) se $a$ e $b$ sono discordi allora $(a+b)$ è dispari e quindi $(a+b+1)$ è pari.
in ogni caso abbiamo una moltiplicazione in cui un fattore è pari, quindi
il prodotto è pari.
C.V.D.
Si può anche far vedere in questo modo: $4a^2+4a-4b^2-4b$ = $4a(a+1) - 4b(b+1)$. Tra due interi consecutivi uno dei due pari e quindi cvd o qed che dir si voglia.
"pippo93":
$(2a+1)^2-(2b+1)^2=4a^2+4a+1-4b^2-4b-1=4a^2-4b^2+4a-4b$...e dato che tutti gli addendi della somma sono numeri pari moltiplicati per 4...
Non vorrei dire idiozzie ma non è vero che tutti gli addendi della somma sono numeri pari moltipicati per $4$: $a$, per sempio, potrebbe essere $3$.
"WiZaRd":
[quote="pippo93"]
$(2a+1)^2-(2b+1)^2=4a^2+4a+1-4b^2-4b-1=4a^2-4b^2+4a-4b$...e dato che tutti gli addendi della somma sono numeri pari moltiplicati per 4...
Non vorrei dire idiozzie ma non è vero che tutti gli addendi della somma sono numeri pari moltipicati per $4$: $a$, per sempio, potrebbe essere $3$.[/quote]
Bhe io all'inizio io ho detto che a+1 e b+1 sono due numeri dispari, mi sembra ovvio che a e b siano pari
No, sai solo che 2a+1 è dispari. Come è ovvio. Quello che dice Wizard è giusto e infatti la divisibilità per otto della somma va dimostrata. Due esempi molto vicini, solo qualche post di distanza : la dimostrazione di franced e la mia.
"franced":
Resta da dimostrare che
$4a^2 + 4a - 4b^2 - 4b$ è divisibile per 8,
che è equivalente a dimostrare che
$a^2+a-b^2-b$ è pari.
Possiamo riscrivere l'espressione così:
$a^2-b^2+a-b = (a+b)(a-b)+a-b = (a+b+1)(a-b)$
ora, il prodotto di queste quantità è sempre pari;
infatti:
1) se $a$ e $b$ sono entrambi pari allora $(a-b)$ è pari;
2) se $a$ e $b$ sono entrambi dispari allora $(a-b)$ è pari;
3) se $a$ e $b$ sono discordi allora $(a+b)$ è dispari e quindi $(a+b+1)$ è pari.
in ogni caso abbiamo una moltiplicazione in cui un fattore è pari, quindi
il prodotto è pari.
C.V.D.
mi sembra di aver capito, ma si può dire anche che:
$(4a^2-4b^2-(4a-4b))8 in ZZ=(a^2-b^2-(a-b))/2 in ZZ$ e che se a e b sono discordi formano un numero pari al numeratore, se sono pari idem e se son dispari lo stesso ???
Penso che la tua difficoltà stia nel fatto che non hai ancora studiato a scuola la scomposizione in fattori primi. Al punto a cui sei arrivato tu puoi dimostrare molto poco, invece scomponendo un po' ottieni una forma più semplice data dal prodotto di due polinomi. Prova a sfogliare un po' il tuo testo di algebra, dovrebbe spiegare tutto poi se hai problemi ci siamo noi.
Se invece hai capito come si scompone mi scuso con te e poi dimenticare tutto quello che ho scritto
Se invece hai capito come si scompone mi scuso con te e poi dimenticare tutto quello che ho scritto
C'è un metodo estremamente semplice.
Ponendo, come si è già detto, $n=2a$ e $m=2b$, si trova, facendo un po' di calcoli, questa espressione (che è stata già scritta in precedenza)
$(4a(a+1)-4b(b+1))/8inZZ$
Quello che non è stato scritto (o mi sono perso a causa dell'ora!
) è che questa può essere semplificata in questa forma:
$(a(a+1)-b(b+1))/2$
Basta quindi dimostrare che $a(a+1)-b(b+1)$ è pari.
Ora, se $a$ è dispari, $a(a+1)$ sarà "dispari x pari = pari"; se $a$ è pari, sarà "pari x dispari = pari". Ovviamente si può fare lo stesso ragionamento per $b$
I due ternini $a(a+1)$ e $b(b+1)$ sono quindi entrambi sempre pari, e la loro differenza sarà quindi sempre pari.
C.V.D., penso che non ci sia altro da dire su questa... se c'è qualche errore avvisatemi!
Ponendo, come si è già detto, $n=2a$ e $m=2b$, si trova, facendo un po' di calcoli, questa espressione (che è stata già scritta in precedenza)
$(4a(a+1)-4b(b+1))/8inZZ$
Quello che non è stato scritto (o mi sono perso a causa dell'ora!
) è che questa può essere semplificata in questa forma:$(a(a+1)-b(b+1))/2$
Basta quindi dimostrare che $a(a+1)-b(b+1)$ è pari.
Ora, se $a$ è dispari, $a(a+1)$ sarà "dispari x pari = pari"; se $a$ è pari, sarà "pari x dispari = pari". Ovviamente si può fare lo stesso ragionamento per $b$
I due ternini $a(a+1)$ e $b(b+1)$ sono quindi entrambi sempre pari, e la loro differenza sarà quindi sempre pari.
C.V.D., penso che non ci sia altro da dire su questa... se c'è qualche errore avvisatemi!
"Levacci":
Si può anche far vedere in questo modo: $4a^2+4a-4b^2-4b$ = $4a(a+1) - 4b(b+1)$. Tra due interi consecutivi uno dei due pari e quindi cvd o qed che dir si voglia.
Sì, la tua è decisamente la strada migliore.
ho sviluppato indipendentemente una dimostrazione simile a quella di Gauss91, ma ho visto che è stata gia postata ... 
prendiamo un numero dispari $2n+1$ e il suo consecutivo dispari $2n+3$
dobbiamo dimostrare che $[(2n+3)^2 - (2n+1)^2]/8$ appartiene a $ZZ$
svolgete il tutto applicando il quadrato di una somma e semplificando avrete $[8n-8]/8$, quindi raccogliete $8$ e vi risulterà $8*(n-1)/8$, quindi semplificate $8$ con $8$ e vi risulterà $n-1$ avete dimostrato che è divisibile per $8$.
CVD
dobbiamo dimostrare che $[(2n+3)^2 - (2n+1)^2]/8$ appartiene a $ZZ$
svolgete il tutto applicando il quadrato di una somma e semplificando avrete $[8n-8]/8$, quindi raccogliete $8$ e vi risulterà $8*(n-1)/8$, quindi semplificate $8$ con $8$ e vi risulterà $n-1$ avete dimostrato che è divisibile per $8$.
CVD
No, non hai dimostrato quanto richiesto ma che solo che due numeri dispari consecutivi hanno quella proprietà.
Eh, sono i dettagli che ci fregano ...
Cordialmente, Alex
Eh, sono i dettagli che ci fregano ...
Cordialmente, Alex
già, mi sono fatta ingannare dal mio libro che mi ha appena posto un problema simile ma con due numeri dispari consecutivi
$(2n+1)^2-(2m+1)^2=(2n+2m+2)(2n-2m)=4(n+m+1)(n-m)$
Basta notare che se $n+m$ è pari allora $n-m$ è pari infatti $n-m=n+m-2m$
Quindi allo stesso modo se $n+m$ è dispari allora $n-m$ è dispari.
Questo porta al fatto che in quel prodotto ci saranno esattamente un pari e un dispari, quindi si ha almeno un fattore $2$ a disposizione il che lo rende divisibile per $8$
Basta notare che se $n+m$ è pari allora $n-m$ è pari infatti $n-m=n+m-2m$
Quindi allo stesso modo se $n+m$ è dispari allora $n-m$ è dispari.
Questo porta al fatto che in quel prodotto ci saranno esattamente un pari e un dispari, quindi si ha almeno un fattore $2$ a disposizione il che lo rende divisibile per $8$
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