Iperbole geom analitica problema breve

[claudia1988-votailprof]

ragazzi sto uscendo pazza...sono in crisi...per questo problema, breve brevissimo...ma non so cn quale metodo risolverlo...entro luned' per salvarmi..
Trovare l'equazione dell'iperbole che passa per il punto P (1,3) tangente alla retta di equazione Y+2=0

(il risultato è y^2 -5x^2=4)
per favore...fatemi capire come si svolge...

[gygabyte017]

Allora:

Partiamo dall'equazione generica di un'iperbole (immagino con centro nell'origine): $x^2/a^2-y^2/b^2=-1$

Mettiamo ora a sistema l'iperbole e la retta $y=-2$ per vedere i punti di intersezione:

$x^2/a^2-4/b^2=-1$ e risolviamo in funzione di x:
$x=+-sqrt((4/b^2-1)*a^2)=+-sqrt((4a^2-a^2b^2)/(b^2))$

Se le due curve sono tangenti per ipotesi, allora il delta dell'equazione deve essere uguale a zero:
$Delta=0=>(4a^2-a^2b^2)/(b^2)=0=>4-b^2=0=>b^2=4$

Passiamo ora al punto $P(1;3)$: se il punto fa parte della curva, allora soddisfa la sua equazione. Sostituendo:

$1/a^2-9/b^2=-1$

Sapendo però che $b^2=4$,

$1/a^2-9/4=-1=>1/a^2=5/4=>a^2=4/5$

Sappiamo quindi che $a^2=4/5$ e $b^2=4$: sostituiamoli nell'iperbole generica:
$x^2/(4/5)-y^2/4=-1=>5x^2-y^2=-4=>y^2-5x^2=4$

Ciao

[claudia1988-votailprof]

grazie mille...adesso c rifletto mi studio bene il meccanismo e lo assimilo....
thanks a lot