Iperbole - Ellisse - Parabola
Salve a tutti
questo è il compito in classe di stamattina che non sono riuscito a svolgere.
Mi aiutate a capire i miei errori?
Calcolare l'equazione di una iperbole sapendo che l'equazione di un asintoto è $y=1/2x$ e che un vertice è $A(2,0)$; la parallela pe rA alla bisettrice del I e III quadrante interseca, ulteriolmente, l'iperbole in B; determinare l'equazione passante per A e per B1, proiezione di B sull'asse delle ordinate e calcolare l'interesezione delle due curve
Dunque.
sappiamo che l'asintoto
$y = b/ax$
Abbiamo il punto A che è un vertice dell'iperbole, e che è formato dai punti (A,0)
Quindi sappiamo subito che a = 2.
Mettendo a sistema questa informazione:
${b/a = 1/2$
${a = 2$
${b/2 = 1/2$
${a = 2$
${b=1$
${a=2$
Siamo quindi in grado di scrivere l'equazione dell'ellisse
$x^2/4 - y^2 = 1$
Semplificando avremo
$x^2 - 4y^2 = 4$
E questa è fatta.
Per il secondo punto sappiamo che la bisettrice del I e III quadrante ha intercetta nulla quindi la sua equazione è uguale a $y=x$
La sua parallela passante per A sarà uguale a
$y-0 = m(x-2)$
Due rette parallele hanno lo stesso coefficiente angolare, quindi $m=1$
$y = x-2$
Adesso il problema vuole sapere il punto b che è intersecato cn la curva, qundi poniamo tutta la situazione a sistema
${y=x-2$
${x^2 - 4y^2 = 1$
Sostituiamo ed eseguiamo i calcoli
${y=x-2$
${x^2 - 4(x-2)^2 = 1$
${y=x-2$
${x^2 - 4(x^2 - 4x + 4) = 4$
${y=x-2$
${x^2 - 4x^2 + 16x - 16 = 4$
L'equazione risultante è
$3x^2 + 16x - 20 = 0$
Facciamo quindi la formula risolutiva secondo la quale:
$x= (-16 +- sqrt(256 - 240))/6$
$x1= 2$
$x2= 10/3$
Sostituendo x1 all'equazione
$y = x - 2$
Otteniamo 0, quindi il primo punto di intersezione sarebbe (2,0), che non può essere B, poichè queste coordinate sono le stesse di A.
Utilizzo quindi il secondo parametro e il punto B è (10/3,4/3)
Adesso la proiezione sull'asse delle ordinate in pratica è (10/3,0).
Per trovare l'equazione dell'ellisse passando per i due punti metto a sistema la situazione sostituendo X e Y all'equazione canonica dell'ellisse
Il sistema risulterà non risolvibile...
Per colpa di questo problema non sono riuscito ad andare avanti...
Sapete come finire il problema?
questo è il compito in classe di stamattina che non sono riuscito a svolgere.
Mi aiutate a capire i miei errori?
Calcolare l'equazione di una iperbole sapendo che l'equazione di un asintoto è $y=1/2x$ e che un vertice è $A(2,0)$; la parallela pe rA alla bisettrice del I e III quadrante interseca, ulteriolmente, l'iperbole in B; determinare l'equazione passante per A e per B1, proiezione di B sull'asse delle ordinate e calcolare l'interesezione delle due curve
Dunque.
sappiamo che l'asintoto
$y = b/ax$
Abbiamo il punto A che è un vertice dell'iperbole, e che è formato dai punti (A,0)
Quindi sappiamo subito che a = 2.
Mettendo a sistema questa informazione:
${b/a = 1/2$
${a = 2$
${b/2 = 1/2$
${a = 2$
${b=1$
${a=2$
Siamo quindi in grado di scrivere l'equazione dell'ellisse
$x^2/4 - y^2 = 1$
Semplificando avremo
$x^2 - 4y^2 = 4$
E questa è fatta.
Per il secondo punto sappiamo che la bisettrice del I e III quadrante ha intercetta nulla quindi la sua equazione è uguale a $y=x$
La sua parallela passante per A sarà uguale a
$y-0 = m(x-2)$
Due rette parallele hanno lo stesso coefficiente angolare, quindi $m=1$
$y = x-2$
Adesso il problema vuole sapere il punto b che è intersecato cn la curva, qundi poniamo tutta la situazione a sistema
${y=x-2$
${x^2 - 4y^2 = 1$
Sostituiamo ed eseguiamo i calcoli
${y=x-2$
${x^2 - 4(x-2)^2 = 1$
${y=x-2$
${x^2 - 4(x^2 - 4x + 4) = 4$
${y=x-2$
${x^2 - 4x^2 + 16x - 16 = 4$
L'equazione risultante è
$3x^2 + 16x - 20 = 0$
Facciamo quindi la formula risolutiva secondo la quale:
$x= (-16 +- sqrt(256 - 240))/6$
$x1= 2$
$x2= 10/3$
Sostituendo x1 all'equazione
$y = x - 2$
Otteniamo 0, quindi il primo punto di intersezione sarebbe (2,0), che non può essere B, poichè queste coordinate sono le stesse di A.
Utilizzo quindi il secondo parametro e il punto B è (10/3,4/3)
Adesso la proiezione sull'asse delle ordinate in pratica è (10/3,0).
Per trovare l'equazione dell'ellisse passando per i due punti metto a sistema la situazione sostituendo X e Y all'equazione canonica dell'ellisse
Il sistema risulterà non risolvibile...
Per colpa di questo problema non sono riuscito ad andare avanti...
Sapete come finire il problema?
Risposte
sotto radice hai messo -240 ma è +240....
$-4*3*(-20)=240$
un errore che salta subito all'occhio
$-4*3*(-20)=240$
un errore che salta subito all'occhio
Una piccola puntualizzazione per keji:
due segni uno accanto all'altro non si possono scrivere.
Devi scrivere così: $-4*3*(-20)=240$
due segni uno accanto all'altro non si possono scrivere.
Devi scrivere così: $-4*3*(-20)=240$
come mai?
ora correggo...
ora correggo...
bhe potresti aver ragione ma comunue io ho scritto questo secondo la mia memoria quindi potrei aver sbagliato.
Hai controllato la vericità del resto?
Hai controllato la vericità del resto?
altro errore: (mio, per colpa tua però...)
$-3x^2+16x-20=0$
per cui i risultati di questa sono giusti i tuoi... non è lì l'errore... ora controllo con calma il resto...
$-3x^2+16x-20=0$
per cui i risultati di questa sono giusti i tuoi... non è lì l'errore... ora controllo con calma il resto...
Ho capito, grazie mille per l'aiuto (anche se temo sarà un altro 4)
Nessuno mi aiuta a completare questa situazione?
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