Iperbole e retta parametrica. - AIUTO!!!!!!!
Per quali valori di q la retta di equazione y=4x-q ha punti in comune all'iperbole di equazione 5x^2-2y^2=10.
Calcolare la corda che questa retta ha in comune con la curva:
Ho avuto un compito in classe, ma ho toppato!
Nessun altro dei miei compagni ha saputo risolverlo.
Grazie per l'aiuto che vorrete darmi.
Stefano.
Calcolare la corda che questa retta ha in comune con la curva:
Ho avuto un compito in classe, ma ho toppato!
Nessun altro dei miei compagni ha saputo risolverlo.
Grazie per l'aiuto che vorrete darmi.
Stefano.
Risposte
se ho ben capito tu vuoi sapere per quali valori di q la retta ha intersezioni con la iperbole giusto?
a me viene per q<=-3
3 e q>=33
ti tornano i risultati..bastava mettere a sistema le due equazioni e risolverlo. a quel punto ottenevi una equazione di II grado in x...imponevi il discriminate >=0 e trovavi q risolvendo la disequazione..
se era questo quello che chiedevi...se no domanda pure!!
ciao
il vecchio
a me viene per q<=-3
3 e q>=33ti tornano i risultati..bastava mettere a sistema le due equazioni e risolverlo. a quel punto ottenevi una equazione di II grado in x...imponevi il discriminate >=0 e trovavi q risolvendo la disequazione..
se era questo quello che chiedevi...se no domanda pure!!
ciao
il vecchio
citazione:
se ho ben capito tu vuoi sapere per quali valori di q la retta ha intersezioni con la iperbole giusto?
a me viene per q<=-3
ti tornano i risultati..bastava mettere a sistema le due equazioni e risolverlo. a quel punto ottenevi una equazione di II grado in x...imponevi il discriminate >=0 e trovavi q risolvendo la disequazione..
se era questo quello che chiedevi...se no domanda pure!!
ciao
il vecchio
Era questo che desideravo, ma ti chiedo di più.
Oltre ad avere bisogno della risoluzione completa per poterla confrontare con tutte le possibili soluzioni da me provate, ho anche bisogno di calcolare la corda che la retta forma con la curva.
è questo che non ho capito neanche prima...che vuol dire???
Forse vuol dire che se la retta interseca la curva in 2 punti chiamiamoli A , B , determinare la lunghezza della corda AB.
Se ho ben capito, basta porre a sistema le equazioni:
{y = 4x - q
{5x² - 2y² = 10
5x² - 2(16x² - 8qx + q²) - 10 = 0
5x² - 32x² + 16qx - 2q² - 10 = 0
-27x² + 16qx - 2q² - 10 = 0
Ora poniamo il discriminante dell'equazione >= 0, affinché
l'equazione abbia soluzioni:
(16q)² - 4*(-27)*(-2q² - 10) >= 0
256q² + 108(-2q² - 10) >= 0
256q² - 216q² - 1080 >= 0
40q² >= 1080
q² >= 1080/40
q² >= 27
q <= -33 V q >= 33
{y = 4x - q
{5x² - 2y² = 10
5x² - 2(16x² - 8qx + q²) - 10 = 0
5x² - 32x² + 16qx - 2q² - 10 = 0
-27x² + 16qx - 2q² - 10 = 0
Ora poniamo il discriminante dell'equazione >= 0, affinché
l'equazione abbia soluzioni:
(16q)² - 4*(-27)*(-2q² - 10) >= 0
256q² + 108(-2q² - 10) >= 0
256q² - 216q² - 1080 >= 0
40q² >= 1080
q² >= 1080/40
q² >= 27
q <= -3
3 V q >= 33
si il procedimento è quello che ho fatto anch'io..
se devi calcolare invece la lunghezza della corda basta applicare la formula della distanza punto-punto una volta calcolate, per sostituzione, le coordinate dei punti "limite"...
ma era questo che volevi sapere??
se devi calcolare invece la lunghezza della corda basta applicare la formula della distanza punto-punto una volta calcolate, per sostituzione, le coordinate dei punti "limite"...
ma era questo che volevi sapere??
Non è necessario calcolare le coordinate dei punti di intersezione, ma basta calcolare le "differenze fra le coordinate". In questo modo si evitano inutili calcoli che, oltre ad essere tediosi, sono spesso fonte di errori. Ecco il procedimento.
--------------------------------------
Siano A e B i punti di intersezione retta-iperbole (l'esistenza di A e B è stata dimostrata da fireball nel post precedente). Le ascisse xA e xB sono le radici dell'equazione
-27x²+16qx-2q²-10=0
La differenza tra le due radici è
xB-xA=sqr(D)/a
essendo "D" il discriminante ed "a" il coeff. del termine di 2° grado dell'equazione. I punti A e B appartengono anche alla retta y=4x-q, quindi:
yB-yA=4(xB-xA)=4*sqr(D)/a
Siamo a questo punto in grado di determinare la lunghezza della corda AB in funzione del parametro q:
AB=sqr((xB-xA)²+(yB-yA)²)=sqr(17*D)/|a|
essendo
D=40*(q²-27) , |a|=27
si ha
AB=(2/27)*sqr(170*(q²-27))
ovviamente con le condizioni -3*sqr(3)>=q>=3*sqr(3).
Spero di essere stato chiaro. Approfitto per chiedere come si inseriscono in questo forum i simboli grafici di radice quadrata (debbo ancora usare "sqr" ...), di integrale, ecc. Io ho tentato invano di usare la ascii table.
..:: MatriX ::..
Modificato da - matrix il 20/04/2004 18:53:58
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Siano A e B i punti di intersezione retta-iperbole (l'esistenza di A e B è stata dimostrata da fireball nel post precedente). Le ascisse xA e xB sono le radici dell'equazione
La differenza tra le due radici è
essendo "D" il discriminante ed "a" il coeff. del termine di 2° grado dell'equazione. I punti A e B appartengono anche alla retta y=4x-q, quindi:
Siamo a questo punto in grado di determinare la lunghezza della corda AB in funzione del parametro q:
essendo
si ha
ovviamente con le condizioni -3*sqr(3)>=q>=3*sqr(3).
Spero di essere stato chiaro. Approfitto per chiedere come si inseriscono in questo forum i simboli grafici di radice quadrata (debbo ancora usare "sqr" ...), di integrale, ecc. Io ho tentato invano di usare la ascii table.
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Modificato da - matrix il 20/04/2004 18:53:58
Matrix, il pulsante 
non l'hai proprio visto?
Non è una innovazione recente: guarda qua.
Non so perché oggi pomeriggio il caricamento del forum e del sito è particolarmente lento...
non l'hai proprio visto?Non è una innovazione recente: guarda qua.
Non so perché oggi pomeriggio il caricamento del forum e del sito è particolarmente lento...
Orc..... è un bel pezzo che non frequento il forum... ho ricominciato da poco. Grazie per la dritta.
Anche il mio collegamento è lento, forse questa è l'ora di punta.
..:: MatriX ::..
Anche il mio collegamento è lento, forse questa è l'ora di punta.
..:: MatriX ::..
citazione:
Non è necessario calcolare le coordinate dei punti di intersezione, ma basta calcolare le "differenze fra le coordinate". In questo modo si evitano inutili calcoli che, oltre ad essere tediosi, sono spesso fonte di errori. Ecco il procedimento.
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Siano A e B i punti di intersezione retta-iperbole (l'esistenza di A e B è stata dimostrata da fireball nel post precedente). Le ascisse xA e xB sono le radici dell'equazione
-27x²+16qx-2q²-10=0
La differenza tra le due radici è
xB-xA=sqr(D)/a
essendo "D" il discriminante ed "a" il coeff. del termine di 2° grado dell'equazione. I punti A e B appartengono anche alla retta y=4x-q, quindi:
yB-yA=4(xB-xA)=4*sqr(D)/a
Siamo a questo punto in grado di determinare la lunghezza della corda AB in funzione del parametro q:
AB=sqr((xB-xA)²+(yB-yA)²)=sqr(17*D)/|a|
essendo
D=40*(q²-27) , |a|=27
si ha
AB=(2/27)*sqr(170*(q²-27))
ovviamente con le condizioni -3*sqr(3)>=q>=3*sqr(3).
Spero di essere stato chiaro. Approfitto per chiedere come si inseriscono in questo forum i simboli grafici di radice quadrata (debbo ancora usare "sqr" ...), di integrale, ecc. Io ho tentato invano di usare la ascii table.
..:: MatriX ::..
Modificato da - matrix il 20/04/2004 18:53:58
Grazie per la tua soluzione, ma io sono davvero un asino e perciò ti chiedo:
Perchè le ascisse di xA e xB sono le radici dell'equazione
-27x²+16qx-2q²-10=0 ?
La suddetta affermazione è una regola?
!!Attak!!
hei Matrix...ma sqr non è l'elevamento alla seconda e sqrt la radice quadrata?
Infatti, ha ragione vecchio! Comunque, usiamo il pulsante per inserire i simboli matematici.
Per scrivere l'elevamento al quadrato, digitate ALT+0178.
Per scrivere l'elevamento al cubo, digitate ALT+0179.
per inserire i simboli matematici. Per scrivere l'elevamento al quadrato, digitate ALT+0178.
Per scrivere l'elevamento al cubo, digitate ALT+0179.
Le soluzioni (ammesso che esistano) del sistema retta-iperbole sono costituite da due coppie di numeri (xA,yA) e (xB,yB) che hanno questo significato geometrico : sono le coordinate cartesiane degli unici punti A e B che appartengono sia alla retta sia all'iperbole (perché soddisfano le equazioni dell'una e dell'altra) cioè dei punti di intersezione della retta con l'iperbole. Non è detto che questi punti esistano sempre per qualsiasi sistema retta-iperbole ma, in questo caso, le soluzioni esistono se
-3(3)>=q>=3(3)
L'equazione di 2° grado cui ti riferisci è l'equazione "risolvente " in x del sistema retta-iperbole ottenuta sostituendo nell'equazione dell'iperbole la y ricavata dall'equazione della retta (y=4x-q), e le sue radici sono perciò le ascisse xA e xB dei punti di intersezione. Calcolate xA e xB si determinano yA e yB da una delle due equazioni del sistema (conviene dall'equazione della retta). In alternativa, si potrebbe procedere ricavando l'"equazione risolvente" in y sostituendo nell'equazione dell'iperbole la x ricavata dall'equazione della retta (x=(y+q)/4), ottenendo ancora un'equazione di 2° grado questa volta in y, le cui radici sono yA e yB, in base alle quali si determinano xA e xB.
Però, come ho dimostrato nel post precedente, IN QUESTO CASO non è necessario determinare le 4 coordinate xA,xB,yA,yB, ma basta determinare le due quantità (xB-xA) e (yB-yA).
PS
ti consiglio di chiedere al tuo prof che rispieghi queste cose, soprattutto se la maggior parte della classe ha toppato al compito. Sicuramente, avendo tempo, spazio (e lavagna...) a disposizione, il tuo prof sarà in grado di spiegarti meglio la procedura risolutiva del problema e la parte teorica che lo sostiene.
.:: MatriX ::..
(3)>=q>=3(3)L'equazione di 2° grado cui ti riferisci è l'equazione "risolvente " in x del sistema retta-iperbole ottenuta sostituendo nell'equazione dell'iperbole la y ricavata dall'equazione della retta (y=4x-q), e le sue radici sono perciò le ascisse xA e xB dei punti di intersezione. Calcolate xA e xB si determinano yA e yB da una delle due equazioni del sistema (conviene dall'equazione della retta). In alternativa, si potrebbe procedere ricavando l'"equazione risolvente" in y sostituendo nell'equazione dell'iperbole la x ricavata dall'equazione della retta (x=(y+q)/4), ottenendo ancora un'equazione di 2° grado questa volta in y, le cui radici sono yA e yB, in base alle quali si determinano xA e xB.
Però, come ho dimostrato nel post precedente, IN QUESTO CASO non è necessario determinare le 4 coordinate xA,xB,yA,yB, ma basta determinare le due quantità (xB-xA) e (yB-yA).
PS
ti consiglio di chiedere al tuo prof che rispieghi queste cose, soprattutto se la maggior parte della classe ha toppato al compito. Sicuramente, avendo tempo, spazio (e lavagna...) a disposizione, il tuo prof sarà in grado di spiegarti meglio la procedura risolutiva del problema e la parte teorica che lo sostiene.
.:: MatriX ::..
"sqr" è la SQuareRoot in basic ed in molti altri linguaggi (tutti preferibili al pascal), quindi non vedo il problema.
Per quanto riguarda i simboli da usare, se permetti li decido io nei miei post, conformemente alle convenzioni usuali (simboli tra cui rientra anche "sqr"). Quando lo riterrò opportuno per questioni di chiarezza o di spazio, userò alcuni dei simboli proposti nel "formato".
..:: MatriX ::..
Per quanto riguarda i simboli da usare, se permetti li decido io nei miei post, conformemente alle convenzioni usuali (simboli tra cui rientra anche "sqr"). Quando lo riterrò opportuno per questioni di chiarezza o di spazio, userò alcuni dei simboli proposti nel "formato".
..:: MatriX ::..
mamma mia, ragazzi, mi gira la testa:
e, subito dopo:
in pascal avete perfettamente ragione!
ne devo dedurre che tutte le volte che, su questo forum, ho (da inveterato basic-ista) usato "sqr" (*) per indicare la radice quadrata, alcuni l'hanno preso per un quadrato ?
a questo punto non mi resta che ringraziare quei lettori per la loro magnanima benevolenza: non mi hanno mai contestato quelle formule che dovevan lor sembrare sballate, e anche di grosso!
è bene che questo nodo sia venuto al pettine!
cercherò di usare il meno confondibile dei due (cioè "sqrt")
ma anche i lettori stiano all'erta.
aggiungo che nessuno, credo, oggi userebbe un nome speciale di funzione "sqr" per una potenza semplice come 2 (mentre 1/2, se non è più complicata è per lo meno più pallosa da scrivere)
tony
(*) la uso intercambiabilmente con "sqrt", che qui pare più di moda, forse più per la conoscenza del "pascal" e per la frequentazione con "derive", che non con "fortran", "TeX" e "LaTeX".
*Edited by - tony on 21/04/2004 02:47:22
*quote:
hei Matrix...ma sqr non è l'elevamento alla seconda e sqrt la radice quadrata? [vecchio]
e, subito dopo:
*quote:
Infatti, ha ragione vecchio! [fireball]
in pascal avete perfettamente ragione!
ne devo dedurre che tutte le volte che, su questo forum, ho (da inveterato basic-ista) usato "sqr" (*) per indicare la radice quadrata, alcuni l'hanno preso per un quadrato ?
a questo punto non mi resta che ringraziare quei lettori per la loro magnanima benevolenza: non mi hanno mai contestato quelle formule che dovevan lor sembrare sballate, e anche di grosso!
è bene che questo nodo sia venuto al pettine!
cercherò di usare il meno confondibile dei due (cioè "sqrt")
ma anche i lettori stiano all'erta.
aggiungo che nessuno, credo, oggi userebbe un nome speciale di funzione "sqr" per una potenza semplice come 2 (mentre 1/2, se non è più complicata è per lo meno più pallosa da scrivere)
tony
(*) la uso intercambiabilmente con "sqrt", che qui pare più di moda, forse più per la conoscenza del "pascal" e per la frequentazione con "derive", che non con "fortran", "TeX" e "LaTeX".
*Edited by - tony on 21/04/2004 02:47:22
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