Iperbole
Ho da proporvi i seguenti problemi:
1) Scrivere l'equazione dell'iperbole avente un fuoco nel punto (2rdq5;0) e per asintoti le rette y=+-2x; trovare l'eq. della tangente t all'iperbole nel suo punto del I quadrante di ascissa =rdq5 e calcolare l'area del triangolo limitato dalla retta t e dagli asintoti.
L'equazione l'ho determinata mi servono suggerimenti per potercontinuare.
2) Trovare le eq. delle tangenti all'iperbole di eq.x^2-y^2/2=1 passanti per il punto P(1;1) e le coordinate dei punti di contatto.
Sono rioscita a trovare la TG3/2x-1/2 e il relativo punto di contatto, ma l'es. mi dà una seconda tg. per risultato x=1 che non riesco a determinare!
3) Nell'eq.x^2/a^2-y^2/b^2=1 si determinino a e b in modo che l'iperbole che essa rappresenta passi per i punti p1(5;4) e P2(-13/4;5/4). Si determinino le tg all'iperbole in tali punti ed il punto A comune alle due tangenti. Si determini poi l'intersezione B della retta P1P2 con l'asse delle y. Si trovino infine le eq. delle tg. all'iperbole passanti per B e si verifichio che il punto A è allineato con i punti in cui le ultime 2 tg. toccano l'iperbole.
L' eq, l'ho trovata mi srvirebbe la parte successiva.
Grazie
1) Scrivere l'equazione dell'iperbole avente un fuoco nel punto (2rdq5;0) e per asintoti le rette y=+-2x; trovare l'eq. della tangente t all'iperbole nel suo punto del I quadrante di ascissa =rdq5 e calcolare l'area del triangolo limitato dalla retta t e dagli asintoti.
L'equazione l'ho determinata mi servono suggerimenti per potercontinuare.
2) Trovare le eq. delle tangenti all'iperbole di eq.x^2-y^2/2=1 passanti per il punto P(1;1) e le coordinate dei punti di contatto.
Sono rioscita a trovare la TG3/2x-1/2 e il relativo punto di contatto, ma l'es. mi dà una seconda tg. per risultato x=1 che non riesco a determinare!
3) Nell'eq.x^2/a^2-y^2/b^2=1 si determinino a e b in modo che l'iperbole che essa rappresenta passi per i punti p1(5;4) e P2(-13/4;5/4). Si determinino le tg all'iperbole in tali punti ed il punto A comune alle due tangenti. Si determini poi l'intersezione B della retta P1P2 con l'asse delle y. Si trovino infine le eq. delle tg. all'iperbole passanti per B e si verifichio che il punto A è allineato con i punti in cui le ultime 2 tg. toccano l'iperbole.
L' eq, l'ho trovata mi srvirebbe la parte successiva.
Grazie
Risposte
Ciao!
1)
L'equazione dell'iperbole è del tipo
(x/a)^2 - (y/b)^2 = 1
I fuochi sono F1(-c;0) e F2(c;0) con c=sqrt(a^2+b^2)
Gli asintoti sono y = +-b/a * x
Dai dati del problema si ricava:
c=sqrt(a^2+b^2) = 2sqrt(5)
b/a=2
cioè un sistema in due equazioni e due incognite. Si può ricavare b dalla seconda e sostituirla nella prima. Si ottiene:
a=2
b=4
Quindi l'equazione è:
(x/2)^2 - (y/4)^2 = 1
Nel primo quadrante tale equazione si può anche scrivere:
y = 4*sqrt( (x/2)^2 -1 )
La tangente, passando per il punto (sqrt(5);2), ha equazione:
y=2+m(x-sqrt(5))
Mettiamola a sistema con l'iperbole, cioè sostituiamola nell'equazione dell'iperbole:
2+m(x-sqrt(5))=4sqrt((x/2)^2-1)
4+m^2*(x^2+5-2sqrt(5)x)+4mx-4m*sqrt(5)=4x^2-16
(m^2-4)*x^2 +(-2m^2sqrt(5)+4m)x +20+5m^2-4m*sqrt(5) = 0
il delta/4 vale (dopo qualche conto):
delta/4= 4m^2-16sqrt(5)m+80
Noi vogliamo (per avere tangenza) che sia nullo: ricaviamo allora m:
m = 2*sqrt(5)
Quindi la retta tangente è:
y = 2 + 2*sqrt(5)*(x-sqrt(5)) cioè
y= -8+2sqrt(5)x
Sia O l'origine
A l'intersezione tra la tangente e y=2x
B l'intersezione tra la tangente e y=-2x
C è l'intersezione tra la tangente e l'asse x
L'area richiesta è la somma delle aree dei triangoli OCA e OCB. Essi hanno la base in comune (OC). Le altezze sono le ordinate dei punti A e B rispettivamente.
Troviamo l'ascissa di C (Cx):
y=2sqrt(5)x-8
y=0
Cx=4/sqrt(5)
Ora troviamo A:
y=2sqrt(5)x-8
y=2x
si ottiene Ay=8/(sqrt(5)-1)
Troviamo By:
y=sqrt(5)x-3
y=-2x
By=-8/(1+sqrt(5))
AreaOBC=1/2*OC*abs(By)=16/(sqrt(5)+5)
AreaOBA=1/2*OC*abs(Ay)=16/(-sqrt(5)+5)
AreaACO=AreaOBC+AreaOBA=32
Spero di non aver fatto errori di conti!!!
ciao
goblyn
Modificato da - goblyn il 09/05/2003 17:31:55
Modificato da - goblyn il 09/05/2003 17:49:48
Modificato da - goblyn il 09/05/2003 17:56:55
1)
L'equazione dell'iperbole è del tipo
(x/a)^2 - (y/b)^2 = 1
I fuochi sono F1(-c;0) e F2(c;0) con c=sqrt(a^2+b^2)
Gli asintoti sono y = +-b/a * x
Dai dati del problema si ricava:
c=sqrt(a^2+b^2) = 2sqrt(5)
b/a=2
cioè un sistema in due equazioni e due incognite. Si può ricavare b dalla seconda e sostituirla nella prima. Si ottiene:
a=2
b=4
Quindi l'equazione è:
(x/2)^2 - (y/4)^2 = 1
Nel primo quadrante tale equazione si può anche scrivere:
y = 4*sqrt( (x/2)^2 -1 )
La tangente, passando per il punto (sqrt(5);2), ha equazione:
y=2+m(x-sqrt(5))
Mettiamola a sistema con l'iperbole, cioè sostituiamola nell'equazione dell'iperbole:
2+m(x-sqrt(5))=4sqrt((x/2)^2-1)
4+m^2*(x^2+5-2sqrt(5)x)+4mx-4m*sqrt(5)=4x^2-16
(m^2-4)*x^2 +(-2m^2sqrt(5)+4m)x +20+5m^2-4m*sqrt(5) = 0
il delta/4 vale (dopo qualche conto):
delta/4= 4m^2-16sqrt(5)m+80
Noi vogliamo (per avere tangenza) che sia nullo: ricaviamo allora m:
m = 2*sqrt(5)
Quindi la retta tangente è:
y = 2 + 2*sqrt(5)*(x-sqrt(5)) cioè
y= -8+2sqrt(5)x
Sia O l'origine
A l'intersezione tra la tangente e y=2x
B l'intersezione tra la tangente e y=-2x
C è l'intersezione tra la tangente e l'asse x
L'area richiesta è la somma delle aree dei triangoli OCA e OCB. Essi hanno la base in comune (OC). Le altezze sono le ordinate dei punti A e B rispettivamente.
Troviamo l'ascissa di C (Cx):
y=2sqrt(5)x-8
y=0
Cx=4/sqrt(5)
Ora troviamo A:
y=2sqrt(5)x-8
y=2x
si ottiene Ay=8/(sqrt(5)-1)
Troviamo By:
y=sqrt(5)x-3
y=-2x
By=-8/(1+sqrt(5))
AreaOBC=1/2*OC*abs(By)=16/(sqrt(5)+5)
AreaOBA=1/2*OC*abs(Ay)=16/(-sqrt(5)+5)
AreaACO=AreaOBC+AreaOBA=32
Spero di non aver fatto errori di conti!!!
ciao
goblyn
Modificato da - goblyn il 09/05/2003 17:31:55
Modificato da - goblyn il 09/05/2003 17:49:48
Modificato da - goblyn il 09/05/2003 17:56:55
Ciao goblyn! Volevo fare 2 osservazioni:
1) le rette tangenti all'iperbole di equazione x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 oppure x^2/a^2 - y^2/b^2 = -1 possono essere trovate, anziché con i complicati calcoli del delta = 0, con una formula chiamata "formula di sdoppiamento". Questa formula è molto utile per trovare le rette tangenti alle ellissi ed alle iperboli, ma ribadisco solo del tipo x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 o x^2/a^2 - y^2/b^2 = -1 (per le iperboli) ed x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 (per le ellissi) conoscendo però esclusivamente le coordinate del punto di tangenza, che vengono indicate con x0 ed y0; la formula è:
(x*x0)/a^2 + (y*y0)/b^2 = 1 per le ellissi;
(x*x0)/a^2 - (y*y0)/b^2 = 1 per le iperboli aventi per asse trasverso l'asse x;
(x*x0)/a^2 - (y*y0)/b^2 = -1 per le iperboli aventi per asse trasverso l'asse y;
È molto più immediato l'uso di questa formula per trovare le tangenti, invece di delta = 0! Voglio però rendere chiaro il fatto che la formula di sdoppiamento non si può usare con le ellissi o le iperboli di equazione diversa da quelle che ho scritto qui sopra. O delta = 0, o formula di sdoppiamento, si arriva al medesimo risultato.
2) i coefficienti angolari degli asintoti, o comunque di una qualsiasi retta, sono uguali alla tangente dell'angolo formato da un asintoto con il semiasse positivo delle ascisse. Possiamo dimostrare quanto detto: prendiamo ad esempio la retta y = x. Essa forma con l'asse x un angolo di 45°. Dunque il suo coefficiente angolare sarà tg 45° = 1, oppure se forma 30° è tg 30° = sqrt(3)/3 e così via... Ecco dimostrato. È molto utile usare la trigonometria per sapere quanto vale il coefficiente angolare di una retta conoscendo l'angolo formato con l'asse x. Quindi (per marraenza) se ti dovesse capitare un problema del tipo (me lo invento):
Gli asintoti di un'iperbole con i fuochi in F(0;+-5) formano con l'asse delle ascisse angoli supplementari che differiscono di 120°. Determinarne l'equazione.
Gli angoli sono di 30° e di 150°, quindi tg 30° = sqrt(3)/3 e l'equazione degli asintoti è quindi y = + - sqrt(3)/3... Chiaro?
Ciao a tutti
fireball
1) le rette tangenti all'iperbole di equazione x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 oppure x^2/a^2 - y^2/b^2 = -1 possono essere trovate, anziché con i complicati calcoli del delta = 0, con una formula chiamata "formula di sdoppiamento". Questa formula è molto utile per trovare le rette tangenti alle ellissi ed alle iperboli, ma ribadisco solo del tipo x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 o x^2/a^2 - y^2/b^2 = -1 (per le iperboli) ed x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 (per le ellissi) conoscendo però esclusivamente le coordinate del punto di tangenza, che vengono indicate con x0 ed y0; la formula è:
(x*x0)/a^2 + (y*y0)/b^2 = 1 per le ellissi;
(x*x0)/a^2 - (y*y0)/b^2 = 1 per le iperboli aventi per asse trasverso l'asse x;
(x*x0)/a^2 - (y*y0)/b^2 = -1 per le iperboli aventi per asse trasverso l'asse y;
È molto più immediato l'uso di questa formula per trovare le tangenti, invece di delta = 0! Voglio però rendere chiaro il fatto che la formula di sdoppiamento non si può usare con le ellissi o le iperboli di equazione diversa da quelle che ho scritto qui sopra. O delta = 0, o formula di sdoppiamento, si arriva al medesimo risultato.
2) i coefficienti angolari degli asintoti, o comunque di una qualsiasi retta, sono uguali alla tangente dell'angolo formato da un asintoto con il semiasse positivo delle ascisse. Possiamo dimostrare quanto detto: prendiamo ad esempio la retta y = x. Essa forma con l'asse x un angolo di 45°. Dunque il suo coefficiente angolare sarà tg 45° = 1, oppure se forma 30° è tg 30° = sqrt(3)/3 e così via... Ecco dimostrato. È molto utile usare la trigonometria per sapere quanto vale il coefficiente angolare di una retta conoscendo l'angolo formato con l'asse x. Quindi (per marraenza) se ti dovesse capitare un problema del tipo (me lo invento):
Gli asintoti di un'iperbole con i fuochi in F(0;+-5) formano con l'asse delle ascisse angoli supplementari che differiscono di 120°. Determinarne l'equazione.
Gli angoli sono di 30° e di 150°, quindi tg 30° = sqrt(3)/3 e l'equazione degli asintoti è quindi y = + - sqrt(3)/3... Chiaro?
Ciao a tutti
fireball
Ciao fire! grazie dell'osservazione 1), interessante!
Del resto, non conoscendo marraenza, ed essendo in un forum di medie superiori ho preferito usare delta=0 (piuttosto che le derivate, ad esempio).
Per quanto riguarda le coniche vale la pena (ma è un argomento un po' più avanzato, università diciamo) impararsi qualche nozione di geometria proiettiva. I problemi sulle coniche, in quel contesto, vengono risolti in maniera sorprendentemente semplice ed elegante, chiarendo molti aspetti oscuri legati alle coniche stesse.
Ad esempio, gli asintoti stessi, non sono nient'altro che un'iperbole degenere... nella geometria proiettiva essi vengono trattati proprio come un'iperbole. Ma c'è molto di +...
Spero di averti incuriosito!
ciao
goblyn
Del resto, non conoscendo marraenza, ed essendo in un forum di medie superiori ho preferito usare delta=0 (piuttosto che le derivate, ad esempio).
Per quanto riguarda le coniche vale la pena (ma è un argomento un po' più avanzato, università diciamo) impararsi qualche nozione di geometria proiettiva. I problemi sulle coniche, in quel contesto, vengono risolti in maniera sorprendentemente semplice ed elegante, chiarendo molti aspetti oscuri legati alle coniche stesse.
Ad esempio, gli asintoti stessi, non sono nient'altro che un'iperbole degenere... nella geometria proiettiva essi vengono trattati proprio come un'iperbole. Ma c'è molto di +...
Spero di averti incuriosito!
ciao
goblyn
I conti non mi tornano per quanto riguarda la retta tangente, che mi viene y = 8 - 2*sqrt(5)x, e l'area del triangolo, che mi viene 8. Chi di noi ha sbagliato??
ciao
ciao
Hai ragione tu! La retta è tangente nel punto (sqrt(5);2) e non nel punto (sqrt(5);1) come ho scritto io... sono sempre il solito... 
Ora magari correggo...
goblyn
Ora magari correggo...
goblyn
ciao fire. Ho corretto il mio primo mess. Però il testo specificava che il punto di tangenza dovesse essere nel primo quadrante. Quindi La tua soluzione, per quanto corretta, non è accettabile. Ovvero la retta tangente è quella "opposta":
y=2*sqrt(5)x-8
Inoltre l'area mi viene 32. Questa però dovrebbe coincidere con quella ricavata da te. Niente di + facile che abbia risbagliato i conti...
ciao!
goblyn
y=2*sqrt(5)x-8
Inoltre l'area mi viene 32. Questa però dovrebbe coincidere con quella ricavata da te. Niente di + facile che abbia risbagliato i conti...
ciao!
goblyn
Non ti preoccupare, anche a me capitano spessissimo errori di distrazione (vedi ad esempio proprio quello della tangente: mi ero dimenticato di cambiare i segni:
era
- y = 8 - 2*sqrt(5) e non y = 8 - 2*sqrt(5)
quindi dalla prima è y = 2*sqrt(5) - 8.
Mi scuso per la svista!
Per quanto riguarda l'area, rifacendo i conti viene sempre 8. Sono convinto che è così, i conti li avrò rifatti almeno 3 volte.
Invece di usare il tuo metodo, prova magari, dopo aver determinato i 3 vertici, ad usare la regola di Sarrus.
ciao
Modificato da - fireball il 09/05/2003 18:41:26
era
- y = 8 - 2*sqrt(5) e non y = 8 - 2*sqrt(5)
quindi dalla prima è y = 2*sqrt(5) - 8.
Mi scuso per la svista!
Per quanto riguarda l'area, rifacendo i conti viene sempre 8. Sono convinto che è così, i conti li avrò rifatti almeno 3 volte.
Invece di usare il tuo metodo, prova magari, dopo aver determinato i 3 vertici, ad usare la regola di Sarrus.
ciao
Modificato da - fireball il 09/05/2003 18:41:26
Ora scappo perché il calcetto mi chiama...
Ma conoscendomi, ankio sono convinto che l'area giusta è 8...
Ti affido gli altri due problemi... (scaricabarile che non sono altro...
)
Ciao!!!
Ma conoscendomi, ankio sono convinto che l'area giusta è 8...
Ti affido gli altri due problemi... (scaricabarile che non sono altro...
)Ciao!!!
2) se provi a disegnare l'iperbole in un conveniente sistema di assi cartesiani, vedi che un vertice è il punto (1;0) quindi la retta passante per (1;1) e per (1;0) risulta tangente all'iperbole nel suo vertice di ascissa positiva e la sua equazione è infatti x = 1.
3) mi limito a spiegarti il procedimento per quanto riguarda l'altra parte del problema:
- per determinare le tangenti in P1 e P2 usa la formula di sdoppiamento, poi mettile a sistema per trovare A;
- B è dato dall'intersezione della retta passante per i punti P1 e P2 con l'asse y, di equazione x = 0. Per trovare la retta P1P2 usa la formula: (x-xP1)/(xP2-xP1) = (y-yP1)/(yP2-yP1) e poi mettila a sistema con x = 0;
- per trovare le rette passanti per B e tangenti all'iperbole non si può usare la formula di sdoppiamento perché le rette sono passanti per B e non tangenti all'iperbole in B, quindi devi usare delta = 0, dopodiché fai il sistema tra le tangenti in B e l'iperbole;
- trovati i punti di tangenza delle ultime 2 tangenti, per verificare che A è allineato con essi basta trovare l'equazione della retta, con la formula sopracitata, che passa per i due punti di tangenza che hai appena trovato, dopodiché sostituire le coordinate di A nell'equazione appena determinata e verificare l'identità che si viene così a creare.
Tutto chiaro? Se no scrivimi.
ciao
fireball
3) mi limito a spiegarti il procedimento per quanto riguarda l'altra parte del problema:
- per determinare le tangenti in P1 e P2 usa la formula di sdoppiamento, poi mettile a sistema per trovare A;
- B è dato dall'intersezione della retta passante per i punti P1 e P2 con l'asse y, di equazione x = 0. Per trovare la retta P1P2 usa la formula: (x-xP1)/(xP2-xP1) = (y-yP1)/(yP2-yP1) e poi mettila a sistema con x = 0;
- per trovare le rette passanti per B e tangenti all'iperbole non si può usare la formula di sdoppiamento perché le rette sono passanti per B e non tangenti all'iperbole in B, quindi devi usare delta = 0, dopodiché fai il sistema tra le tangenti in B e l'iperbole;
- trovati i punti di tangenza delle ultime 2 tangenti, per verificare che A è allineato con essi basta trovare l'equazione della retta, con la formula sopracitata, che passa per i due punti di tangenza che hai appena trovato, dopodiché sostituire le coordinate di A nell'equazione appena determinata e verificare l'identità che si viene così a creare.
Tutto chiaro? Se no scrivimi.
ciao
fireball
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