$intt/(5+t^2)dt$ definito sotto da $0$ sopra $x$

[ramarro1]

calcolare $lim_(x->0+)(F(x))/(1-cosx)$
$F(x)=intt/(5+t^2)dt$
per la definizione di calcolo integrale fo la $F'(x)$ ....$F'(x)=x/(5+x^2)$
vedendo che la$x$ del limite tende a $0$ e l'integrale parte da $0$ ho $F(x)=0$
$lim_(x->0)0/(1-1)=0/0$

uso de l'hopital

$lim_(x->0)(F'(x))/-senx=0/0$

rifacccio de l'hopital
$F''(x)=((5+x^2)-x(2x))/(5+x^2)^2/cosx=lim((-x^2+5)/(5+x^2)^2)/cosx$ mi viene $5/25$ quindi $1/5$ va bene fatto cosi?
GRAZIE

[21zuclo]

attenzione a derivare il denominatore $ (d)/(dx)(1-\cos(x))=\sin(x) $

poi $ F(x)=\int_(0)^(x) (t)/(5+t^2)dt $

$ F'(x)= (x)/(5+x^2) $

quindi si ha $ \lim_(x\to 0) ((x)/(5+x^2))/(\sin(x))=\lim_(x\to 0) (x)/(\sin(x)(5+x^2)) $

poi adesso io lo risolverei con alcune tecniche che ho imparato in università..

tu che sei alle superiori.. potresti fare il prodotto dei limiti senza usare hopital..

cioè fare..
$ \lim_(x\to 0) (x)/(\sin(x))\cdot \lim_(x\to 0)(1)/(5+x^2)=1\cdot1/5=1/5 $

ti ricordo che $ \lim_(x\to 0) (\sin(x))/(x)=1 $ ed il suo reciproco è sempre 1