Intersezioni parabole
ho questo esercizio da risolvere, ma non ne vengo a capo
rappresenta graficamente la curva di equazione y=3-sqr9-x ( che è un arco di parabola parallelo asse X e limitato da x
rappresenta graficamente la curva di equazione y=3-sqr9-x ( che è un arco di parabola parallelo asse X e limitato da x
Risposte
Prendiamo la prima parabola:
Può essere scritta:
dal che si deduce che ha vertice in V(9;3).
La seconda parabola è:
che può essere scritta come:
ossia:
Anch'essa ha vertice in V(9;3). Quindi una intersezione è proprio in V(9;3)
Troviamo l'altra.
Osserviamo che entrambe le equazioni hanno il segno discorde. Ciò significa che per la prima stiamo prendendo in esame il ramo inferiore della parabole; per la seconda il ramo a sinistra. Ciò mi sarà utile nel caso dovessi procedere elevando al quadrato (o un numero comunque pari dell'esponente) il che significherebbe introdurre anche l'altro ramo della rispettiva parabola.
Poiché vogliamo conoscere l'intersezione, le soluzioni della prima parabola saranno soluzioni anche della seconda, dunque:
Elevando al quadrato sarà:
Dividiamo ambo i membri per (9-x). Questa operazione la possiamo fare perché escludiamo che x=9, dato che sappiamo già essere radice. Quindi, così facendo, non potremo trovarla nel caso fosse, ad esempio, radice doppia. Le radici multiple (che significherebbe punto di tangenza tra le curve) vanno ricercate prima della divisione.
L'equazione diventa:
Espandendo il cubo, e sottraendo 1 ad ambo i membri:
Ossia:
Se questa equazione ha radici reali, allora una sarà divisore del rapporto tra il termine noto e il coefficiente di grado massimo, che è 1.
Scomponiamo 728/1=728:
Dunque la radice è un numero tra questi: 1, 2, 4, 8, 7, 13, 14, 26 ecc
Si può provare che una radice è 8, perché azzera l'equazione. Perciò, dividendo per (x-8 ), non avremo resto:
Basta ora sostituire x=8 ad una delle equazioni date per ottenere y=2
NB: l'equazione
[math]\Delta=b^2-4ac=361-4\cdot 91=-3
[math]y=3-\sqrt{(9-x)}[/math]
Può essere scritta:
[math](y-3)=-\sqrt{(9-x)}[/math]
dal che si deduce che ha vertice in V(9;3).
La seconda parabola è:
[math]y=-x^2+18x-78[/math]
che può essere scritta come:
[math]y=-(9-x)^2+3[/math]
ossia:
[math](y-3)=-(9-x)^2[/math]
Anch'essa ha vertice in V(9;3). Quindi una intersezione è proprio in V(9;3)
Troviamo l'altra.
Osserviamo che entrambe le equazioni hanno il segno discorde. Ciò significa che per la prima stiamo prendendo in esame il ramo inferiore della parabole; per la seconda il ramo a sinistra. Ciò mi sarà utile nel caso dovessi procedere elevando al quadrato (o un numero comunque pari dell'esponente) il che significherebbe introdurre anche l'altro ramo della rispettiva parabola.
Poiché vogliamo conoscere l'intersezione, le soluzioni della prima parabola saranno soluzioni anche della seconda, dunque:
[math]-\sqrt{9-x}=-(9-x)^2[/math]
Elevando al quadrato sarà:
[math](9-x)=(9-x)^4[/math]
Dividiamo ambo i membri per (9-x). Questa operazione la possiamo fare perché escludiamo che x=9, dato che sappiamo già essere radice. Quindi, così facendo, non potremo trovarla nel caso fosse, ad esempio, radice doppia. Le radici multiple (che significherebbe punto di tangenza tra le curve) vanno ricercate prima della divisione.
L'equazione diventa:
[math](9-x)^3=1[/math]
Espandendo il cubo, e sottraendo 1 ad ambo i membri:
[math]728-243x+27x^2-x^3=0[/math]
Ossia:
[math]x^3-27x^2+243x-728=0[/math]
Se questa equazione ha radici reali, allora una sarà divisore del rapporto tra il termine noto e il coefficiente di grado massimo, che è 1.
Scomponiamo 728/1=728:
[math]728=1\cdot2\cdot2\cdot2\cdot7\cdot13[/math]
Dunque la radice è un numero tra questi: 1, 2, 4, 8, 7, 13, 14, 26 ecc
Si può provare che una radice è 8, perché azzera l'equazione. Perciò, dividendo per (x-8 ), non avremo resto:
[math]x^3-27x^2+243x-728=(x-8)(x^2-19x+91)=0[/math]
Basta ora sostituire x=8 ad una delle equazioni date per ottenere y=2
NB: l'equazione
[math]x^2-19x+91=0[/math]
non ha radici reali. Infatti:[math]\Delta=b^2-4ac=361-4\cdot 91=-3
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