Integrazione per parti (?!)

[Jack_73]

Buonasera a tutti,
mi ritrovo con un altro interessante integrale da svolgere per parti (presumo)
$ intxarctg(1/(2x)) dx $
Dunque.
Ponendo x come f' e $ arctg(1/(2x))$ come g, mi ritrovo con
$ intxarctg(1/(2x)) dx = (x^2)/2 arctg (1/(2x)) - int (x^2)/2 1/(1+(1/(2x))^2) (-1/(4x^2)) $
Ora secondo alcuni passaggi algebrici leciti, arriverei a definire
$ int (x^2)/2 1/(1+(1/(2x))^2) (-1/(4x^2)) = 1/2 int x^2/(4x^2+1) dx $
Quindi procedendo con il rapporto tra numeratore e denominatore
$ 1/2 int x^2/(4x^2+1) dx = 1/2 (int 1/4 -1/4 (1/(4x^2+1)) dx = 1/2 (x/4) - 1/8 int (1/(4x^2+1)) dx $
Dunque ponendo 2x = y per cui 2dx = dy,risulterebbe
$ 1/8 (1/2 int 1/(y^2+1) dy = 1/16 arctg(y) = 1/16 arctg(2x) $,
Da qui posso dire che
$ intxarctg(1/(2x)) dx = x^2/2 arctg (1/(2x)) - x/8 +1/16 arctg (2x) +c $
Mi pare di non aver scritto boiate,ma si sa mai

[seb1]

Ahah!
Solo qualche sbadatezza: hai scordato un fattore \(2\) nel calcolo della derivata dell'arcotangente e hai perso per strada un segno, per il resto tutto giusto!

[Jack_73]

Caspita.Vero!
Grazie mille Seb